$\text{a)}$

$W=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right]=2\cdot 3-1\cdot 1=6-1=5\ne 0$

Wyznacznik główny jest niezerowy, więc układ jest oznaczony. Obliczamy pozostałe wyznaczniki i podajemy rozwiązania: 

$W_x=\left[\begin{array}{cc}-7& 1\\ 4& 3\end{array}\right]=-7\cdot 3-1\cdot 4=-21-4=-25$

$W_y=\left[\begin{array}{cc}2& -7\\ 1& 4\end{array}\right]=2\cdot 4-\left(-7\right)\cdot 1=8+7=15$

 

$x=\frac{W_x}{W}=\frac{-25}{5}=-5$

$y=\frac{W_y}{W}=\frac{15}{5}=3$

---

$\text{b)}$  

$W=\left[\begin{array}{cc}2& 7\\ 3& -4\end{array}\right]=2\cdot \left(-4\right)-7\cdot 3=-8-21=-29\ne 0$  

Wyznacznik główny jest niezerowy, więc układ jest oznaczony. Obliczamy pozostałe wyznaczniki i podajemy rozwiązania:

$W_x=\left[\begin{array}{cc}1& 7\\ 16& -4\end{array}\right]=1\cdot \left(-4\right)-16\cdot 7=-4-112=-116$  

$W_y=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 16\end{array}\right]=2\cdot 16-1\cdot 3=32-3=29$  

 

$x=\frac{W_x}{W}=\frac{-116}{-29}=4$  

$y=\frac{W_y}{W}=\frac{29}{-29}=-1$  

---

$\text{c)}$

$W=\left[\begin{array}{cc}4& -1\\ -1& \frac{1}{4}\end{array}\right]=4\cdot \frac{1}{4}-\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)=1-1=0$

Wyznacznik główny jest równy 0, więc układ będzie nieoznaczony lub sprzeczny. Obliczamy dalsze wyznaczniki.

$W_x=\left[\begin{array}{cc}8& -1\\ -2& \frac{1}{4}\end{array}\right]=8\cdot \frac{1}{4}-\left(-1\right)\cdot \left(-2\right)=2-2=0$

$W_y=\left[\begin{array}{cc}4& 8\\ -1& -2\end{array}\right]=4\cdot \left(-2\right)-8\cdot \left(-1\right)=-8+8=0$

 

$W=W_x=W_y=0$

Układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań.

---

$\text{d)}$  

$W=\left[\begin{array}{cc}7& 4\\ -5& 3\end{array}\right]=7\cdot 3-4\cdot \left(-5\right)=21+20=41\ne 0$   

Wyznacznik główny jest niezerowy, więc układ jest oznaczony. Obliczamy pozostałe wyznaczniki i podajemy rozwiązania: 

$W_x=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 19& 3\end{array}\right]=-2\cdot 3-4\cdot 19=-6-76=-82$  

$W_y=\left[\begin{array}{cc}7& -2\\ -5& 19\end{array}\right]=7\cdot 19-\left(-5\right)\cdot \left(-2\right)=133-10=123$  

 

$x=\frac{W_x}{W}=\frac{-82}{41}=-2$  

$y=\frac{W_y}{W}=\frac{123}{41}=3$  

---

  $\text{e)}$

$W=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 6\\ \frac{1}{6}& 2\end{array}\right]=\frac{1}{2}\cdot 2-6\cdot \frac{1}{6}=1-1=0$

Wyznacznik główny jest równy 0, więc układ będzie nieoznaczony lub sprzeczny. Obliczamy dalsze wyznaczniki.

$W_x=\left[\begin{array}{cc}12& 6\\ -4& 2\end{array}\right]=12\cdot 2-6\cdot \left(-4\right)=24+24=48\ne 0$

$W_y=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 12\\ \frac{1}{6}& -4\end{array}\right]=\frac{1}{2}\cdot \left(-4\right)-12\cdot \frac{1}{6}=-2-2=-4\ne 0$

Jest to układ sprzeczny.

---

$\text{f)}$  

$W=\left[\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{3}{4}\end{array}\right]=1\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=-1\ne 0$  

Wyznacznik główny jest niezerowy, więc układ jest oznaczony. Obliczamy pozostałe wyznaczniki i podajemy rozwiązania: 

$W_x=\left[\begin{array}{cc}8& \frac{1}{2}\\ -4& -\frac{3}{4}\end{array}\right]=8\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{2}\cdot \left(-4\right)=-6+2=-4$  

$W_y=\left[\begin{array}{cc}1& 8\\ \frac{1}{2}& -4\end{array}\right]=1\cdot \left(-4\right)-8\cdot \frac{1}{2}=-4-4=-8$         

 

$x=\frac{W_x}{W}=\frac{-4}{-1}=4$   

$y=\frac{W_y}{W}=\frac{-8}{-1}=8$