$\text{a)}y=x^2+4x+1$  

Odczytujemy współczynniki trójmianu:

$a=1,b=4,c=1$  

Obliczamy wyróżnik Δ:

$\Delta =b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12$  

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-\frac{4}{2}=-2$  

$y_w=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{12}{4\cdot 1}=-\frac{12}{4}=-3$  

Wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych W(-2, -3).

Zapisujemy trójmian w postaci kanonicznej, pamiętając o współczynniku a:

$y={\left(x+2\right)}^2-3$  

---

Wykres funkcji y=(x+2)²-3 otrzymamy, przesuwając parabolę y=x² o 2 jednostki w lewo, a następnie o 3 jednostki w dół.

---

---

$\text{b)}y=-x^2+2x-3$  

Odczytujemy współczynniki trójmianu:

$a=-1,b=2,c=-3$  

Obliczamy wyróżnik Δ:

$\Delta =b^2-4ac=2^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-3\right)=4-12=-8$  

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-2}{-2}=1$  

$y_w=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{-8}{4\cdot \left(-1\right)}=\frac{8}{-4}=-2$  

Wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych W(1, -2).

Zapisujemy trójmian w postaci kanonicznej, pamiętając o współczynniku a:

$y=-{\left(x-1\right)}^2-2$  

---

Wykres funkcji y=-(x-1)²-2 otrzymamy, przesuwając parabolę y=-x² o 1 jednostkę w prawo, a następnie o 2 jednostki w dół.

---

---

$\text{c)}y=2x^2+4x+2$  

Odczytujemy współczynniki trójmianu:

$a=2,b=4,c=2$  

Obliczamy wyróżnik Δ:

$\Delta =b^2-4ac=4^2-4\cdot 2\cdot 2=16-16=0$  

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 2}=-\frac{4}{4}=-1$  

$y_w=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{0}{4\cdot 2}=0$  

Wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych W(-1, 0).

Zapisujemy trójmian w postaci kanonicznej, pamiętając o współczynniku a:

$y=2{\left(x+1\right)}^2$  

---

Wykres funkcji y=2(x+1)² otrzymamy, przesuwając parabolę y=2x² o 1 jednostkę w lewo.

---

---

$\text{d)}y=-2x^2-8x-5$  

Odczytujemy współczynniki trójmianu:

$a=-2,b=-8,c=-5$  

Obliczamy wyróżnik Δ:

$\Delta =b^2-4ac={\left(-8\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-5\right)=64-40=24$  

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{8}{-4}=-2$  

$y_w=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{24}{4\cdot \left(-2\right)}=\frac{-24}{-8}=3$  

Wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych W(-2, 3).

Zapisujemy trójmian w postaci kanonicznej, pamiętając o współczynniku a:

$y=-2{\left(x+2\right)}^2+3$  

---

Wykres funkcji y=-2(x+2)²+3 otrzymamy, przesuwając parabolę y=-2x² o 2 jednostki w lewo, a następnie o 3 jednostki w górę.

---

---

$\text{e)}y=\frac{1}{2}{x}^2+x-\frac{1}{2}$  

Odczytujemy współczynniki trójmianu:

$a=\frac{1}{2},b=1,c=-\frac{1}{2}$  

Obliczamy wyróżnik Δ:

$\Delta =b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=1+1=2$  

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2}}=-\frac{1}{1}=-1$  

$y_w=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{2}{4\cdot \frac{1}{2}}=-\frac{2}{2}=-1$  

Wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych W(-1, -1).

Zapisujemy trójmian w postaci kanonicznej, pamiętając o współczynniku a:

$y=\frac{1}{2}{\left(x+1\right)}^2-1$  

---

Wykres funkcji y=½(x+1)²-1 otrzymamy, przesuwając parabolę y=½x² o 1 jednostkę w lewo, a następnie o 1 jednostkę w dół.

---

---

$\text{f)}y=-\frac{1}{2}{x}^2-2x+3$  

Odczytujemy współczynniki trójmianu:

$a=-\frac{1}{2},b=-2,c=3$  

Obliczamy wyróżnik Δ:

$\Delta =b^2-4ac={\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 3=4+6=10$  

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2}{-1}=-2$  

$y_w=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{10}{4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{-10}{-2}=5$  

Wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych W(-2, 5).

Zapisujemy trójmian w postaci kanonicznej, pamiętając o współczynniku a:

$y=-\frac{1}{2}{\left(x+2\right)}^2+5$  

---

Wykres funkcji y=-½(x+2)²+5 otrzymamy, przesuwając parabolę y=-½x² o 2 jednostki w lewo, a następnie o 5 jednostek w górę.