$\text{a)}\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+3\\ y+x=7\end{array}$  

Rozwiązanie algebraiczne

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+3\\ y+x=7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+3\\ y=7-x\end{array}$  

Podstawiamy y=7-x do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}7-x=\frac{1}{3}x+3\\ y=7-x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x-\frac{1}{3}x=3-7\\ y=7-x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-\frac{4}{3}x=-4\mid \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\\ y=7-x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=7-x\end{array}$  

Podstawiamy x=3 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=7-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}$  

---

Rozwiązanie graficzne

Przekształcamy równania w układzie do postaci kierunkowej:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+3\\ y+x=7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+3\\ y=-x+7\end{array}$  

Do wykresu funkcji y=1/3x+3 należą punkty (0, 3) oraz (-3, 2).

Wykres funkcji y=-x+7 przechodzi przez punkty (2, 5) oraz (5, 2).

Szkicujemy obie proste we wspólnym układzie współrzędnych:

Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych: P=(3, 4).

Rozwiązaniem układu jest więc para liczb: x=3, y=4.

---

---

$\text{b)}\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ 4y+3x=-12\end{array}$  

Rozwiązanie algebraiczne

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ 4y+3x=-12\end{array}$  

Podstawiamy y=-2x+2 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ 4\left(-2x+2\right)+3x=-12\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ -8x+8+3x=-12\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ -5x=-20\mid :\left(-5\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ x=4\end{array}$  

Podstawiamy x=4 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}y=-2\cdot 4+2\\ x=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-8+2\\ x=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-6\\ x=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=4\\ y=-6\end{array}$  

---

Rozwiązanie graficzne

Przekształcamy równania w układzie do postaci kierunkowej:

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ 4y+3x=-12\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ 4y=-3x-12\mid :4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ y=-\frac{3}{4}x-3\end{array}$  

Do wykresu funkcji y=-2x+2 należą punkty (0, 2) oraz (1, 0).

Wykres funkcji y=-3/4x-3 przechodzi przez punkty (0, -3) oraz (-4, 0).

Szkicujemy obie proste we wspólnym układzie współrzędnych:

Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych: P=(4, -6).

Rozwiązaniem układu jest więc para liczb: x=4, y=-6.

---

---

$\text{c)}\{\begin{array}{l}3x-2y=4\\ 3x-y=5\end{array}$  

Rozwiązanie algebraiczne

$\{\begin{array}{l}3x-2y=4\\ 3x-y=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3x-2y=4\\ y=3x-5\end{array}$  

Podstawiamy y=3x-5 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}3x-2\left(3x-5\right)=4\\ y=3x-5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3x-6x+10=4\\ y=3x-5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-3x=-6\mid :\left(-3\right)\\ y=3x-5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3x-5\end{array}$  

Podstawiamy x=2 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\cdot 2-5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=6-5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}$  

---

Rozwiązanie graficzne

Przekształcamy równania w układzie do postaci kierunkowej:

$\{\begin{array}{l}3x-2y=4\\ 3x-y=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2y=-3x+4\mid :\left(-2\right)\\ y=3x-5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=1,5x-2\\ y=3x-5\end{array}$  

Do wykresu funkcji y=1,5x-2 należą punkty (0, -2) oraz (4, 4).

Wykres funkcji y=3x-5 przechodzi przez punkty (0, -5) oraz (3, 4).

Szkicujemy obie proste we wspólnym układzie współrzędnych:

Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych: P=(2, 1).

Rozwiązaniem układu jest więc para liczb: x=2, y=1.

---

---

$\text{d)}\{\begin{array}{l}y-2x=4\\ 9x-2y=-3\end{array}$  

Rozwiązanie algebraiczne

$\{\begin{array}{l}y-2x=4\\ 9x-2y=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x+4\\ 9x-2y=-3\end{array}$  

Podstawiamy y=2x+4 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}y=2x+4\\ 9x-2\left(2x+4\right)=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x+4\\ 9x-4x-8=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x+4\\ 5x=5\mid :5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x+4\\ x=1\end{array}$  

Podstawiamy x=1 do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}y=2\cdot 1+4\\ x=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2+4\\ x=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=6\\ x=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=6\end{array}$  

---

Rozwiązanie graficzne

Przekształcamy równania w układzie do postaci kierunkowej:

$\{\begin{array}{l}y-2x=4\\ 9x-2y=-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x+4\\ -2y=-9x-3\mid :\left(-2\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x+4\\ y=4,5x+1,5\end{array}$  

Do wykresu funkcji y=2x+4 należą punkty (0, 4) oraz (-2, 0).

Wykres funkcji y=4,5x+1,5 przechodzi przez punkty (-1, -3) oraz (1, 6).

Szkicujemy obie proste we wspólnym układzie współrzędnych:

Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych: P=(1, 6).

Rozwiązaniem układu jest więc para liczb: x=1, y=6.

---

---

$\text{e)}\{\begin{array}{l}2x-3y=6\\ -\frac{4}{3}x+2y=-4\end{array}$  

Rozwiązanie algebraiczne

$\{\begin{array}{l}2x-3y=6\mid \cdot 2\\ -\frac{4}{3}x+2y=-4\mid \cdot 3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4x-6y=12\\ -4x+6y=-12\end{array}$  

Dodajemy równania stronami:

$4x-4x-6y+6y=12-12$  

$0=0$  

Powyższe równanie spełnia dowolna para liczb x i y. Wyjściowy układ równań jest równoważny nieoznaczonemu układowi równań:

$\{\begin{array}{l}0=0\\ 2x-3y=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0=0\\ -3y=-2x+6\mid :\left(-3\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0=0\\ y=\frac{2}{3}x-2\end{array}$  

Rozwiązania układu możemy zapisać w postaci:

$\{\begin{array}{l}x\in \mathbf{R}\\ y=\frac{2}{3}x-2\end{array}$  

---

Rozwiązanie graficzne

Przekształcamy równania w układzie do postaci kierunkowej:

$\{\begin{array}{l}2x-3y=6\\ -\frac{4}{3}x+2y=-4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-3y=-2x+6\mid :\left(-3\right)\\ 2y=\frac{4}{3}x-4\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x-2\\ y=\frac{2}{3}x-2\end{array}$  

Oba równania opisują tę samą prostą o równaniu kierunkowym y=2/3x-2 [przechodzi ona przez punkty (3, 0) oraz (0, -2)]. Układ ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań - są nimi wszystkie pary liczb postaci (x, 2/3x-2), gdzie x ∈ R.

---

---

$\text{f)}\{\begin{array}{l}3y+x=9\\ y+3=-\frac{1}{3}x\end{array}$  

Rozwiązanie algebraiczne

$\{\begin{array}{l}x=-3y+9\\ y+3=-\frac{1}{3}x\end{array}$  

Podstawiamy x=-3y+9 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=-3y+9\\ y+3=-\frac{1}{3}\left(-3y+9\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3y+9\\ y+3=y-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3y+9\\ 3=-3\end{array}$  

Drugie równanie w układzie jest sprzeczne. Oznacza to, że układ równań nie ma rozwiązania.

---

Rozwiązanie graficzne

Przekształcamy równania w układzie do postaci kierunkowej:

$\{\begin{array}{l}3y+x=9\\ y+3=-\frac{1}{3}x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3y=-x+9\mid :3\\ y=-\frac{1}{3}x-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}x+3\\ y=-\frac{1}{3}x-3\end{array}$  

Do wykresu funkcji y=-1/3x+3 należą punkty (0, 3) oraz (3, 2).

Wykres funkcji y=-1/3x-3 przechodzi przez punkty (0, -3) oraz (3, -4).

Szkicujemy obie proste we wspólnym układzie współrzędnych:

Narysowane proste są równoległe - nie mają punktów wspólnych. Oznacza to, że układ równań jest sprzeczny (nie ma rozwiązania).