Przypomnijmy:

1) Funkcję f:X->R nazywamy rosnącą, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów x₁,x₂∈X spełniony jest warunek:

jeśli x₁<x₂, to f(x₁)<f(x₂).

2) Funkcję f:X->R nazywamy malejącą, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów x₁,x₂∈X spełniony jest warunek:

jeśli x₁<x₂, to f(x₁)>f(x₂).

---

a) Niech x₁,x₂∈R są dowolnymi argumentami, takimi że x₁<x₂.

Wówczas: 

$2x_1<2x_2\mid :\left(-1\right)$  

$-2x_1>-2x_2\mid +6$  

$-2x_1+6>-2x_2+6$  

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  

Zatem pokazaliśmy, że funkcja jest malejąca dla dowolnych dwóch argumentów x₁,x₂∈R, takich że x₁<x₂.

---

b) Niech x₁,x₂∈(0,+∞) są dowolnymi argumentami, takimi że x₁<x₂.

Wówczas:

$4x_1<4x_2\mid :x_1{x}_2$  

Zauważmy, że iloczyn x₁x₂ jest dodatni, ponieważ x₁,x₂∈(0,+∞).

$\frac{4}{x_2}<\frac{4}{x_1}\mid :\left(-1\right)$  

$-\frac{4}{x_2}>-\frac{4}{x_1}$  

$f\left(x_2\right)>f\left(x_1\right)$  

Zatem pokazaliśmy, że funkcja jest rosnąca dla dowolnych dwóch argumentów x₁,x₂∈(0,+∞), takich że x₁<x₂.

---

c) Niech x₁,x₂∈(-∞, 0) są dowolnymi argumentami, takimi że x₁<x₂.

Wówczas:

$2x_1<2x_2\mid :x_1{x}_2$  

Zauważmy, że iloczyn x₁x₂ jest dodatni, ponieważ x₁,x₂∈(-∞, 0).

$\frac{2}{x_2}<\frac{2}{x_1}\mid :\left(-1\right)$  

$-\frac{2}{x_2}>-\frac{2}{x_1}$  

$f\left(x_2\right)>f\left(x_1\right)$  

Zatem pokazaliśmy, że funkcja jest rosnąca dla dowolnych dwóch argumentów x₁,x₂∈(-∞,0), takich że x₁<x₂.