Oblicz cosinusy kątów ...- Zadanie 1: Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Przypomnijmy wzór:

Dwa niezerowe wektory $u = [u_{1}, u_{2}], v = [v_{1}, v_{2}]$ tworzą taki kąt 𝛼, że:

$cos α = \frac{u _{1} v _{1} + u _{2} v _{2}}{u _{1}^{2} + u _{2}^{2} \cdot v _{1}^{2} + v _{2}^{2}}$

Wyznaczmy wektory AB, BC oraz AC.

$A B = [6 - 1, 4 - (- 1)] = [5, 5]$

$A C = [- 5 - 1, 2 - (- 1)] = [- 6, 3]$

$B C = [- 5 - 6, 2 - 4] = [- 11, - 2]$

Zauważmy, że:

$B A = - A B = [- 5, - 5]$

$C A = - A C = [6, - 3]$

$C B = - B C = [11, 2]$

Wyznaczmy cosinus kąta między bokami AB i AC:

$cos α = \frac{5 \cdot ( - 6 ) + 5 \cdot 3}{5 ^{2} + 5 ^{2} \cdot ( - 6 ) ^{2} + 3 ^{2}}$

$cos α = \frac{- 30 + 15}{25 + 25 \cdot 36 + 9}$

$cos α = \frac{- 15}{50 \cdot 45}$

$cos α = \frac{- 15}{5 2 \cdot 3 5}$

$cos α = \frac{- 3}{3 10}$

$cos α = \frac{- 1}{10}$

$cos α = - \frac{10}{10}$

Wyznaczmy cosinus kąta między bokami BA i BC:

$cos β = \frac{( - 5 ) \cdot ( - 11 ) + ( - 5 ) \cdot ( - 2 )}{( - 5 ) ^{2} + ( - 5 ) ^{2} \cdot ( - 11 ) ^{2} + ( - 2 ) ^{2}}$

$cos β = \frac{55 + 10}{25 + 25 \cdot 121 + 4}$

$cos β = \frac{65}{50 \cdot 125}$

$cos β = \frac{65}{5 2 \cdot 5 5}$

$cos β = \frac{13}{5 10}$

$cos β = \frac{13 10}{50}$

Wyznaczmy cosinus kąta między bokami CA i CB:

$cos γ = \frac{6 \cdot 11 + ( - 3 ) \cdot 2}{6 ^{2} + ( - 3 ) ^{2} \cdot 11 ^{2} + 2 ^{2}}$

$cos γ = \frac{66 - 6}{36 + 9 \cdot 121 + 4}$

$cos γ = \frac{60}{45 \cdot 125}$

$cos β = \frac{60}{3 5 \cdot 5 5}$

$cos β = \frac{60}{75}$

$cos β = \frac{4}{5}$

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.