Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Przyda nam się też rysunek pomocniczy podstawy graniastosłupa:

---

Mamy dane:

$r=10\text{cm}$  

---

Wiemy, że promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy trzeciej części wysokości trójkąta. Stąd:

$r=\frac{1}{3}h$  

$r=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$10=\frac{a\sqrt{3}}{6}\mid \cdot \frac{6}{\sqrt{3}}$  

$a=\frac{60}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{60\sqrt{3}}{3}=20\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy objętość graniastosłupa:

$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2a=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}=\frac{{\left(20\sqrt{3}\right)}^3\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{8000\cdot 9}{2}=4000\cdot 9=36000\left[{\text{cm}}^3\right]$  

---

Odp. Objętość graniastosłupa jest równa 36 000 cm³.