Wykaż, że jeśli a i b są liczbami dodatnimi...- Zadanie 17: Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Wykażemy, że zachodzi następująca równość:

$lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$

zauważmy, że:

$L = lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = lo g_{a} b \cdot \frac{lo g _{a} a}{lo g _{a} b} = lo g_{a} b \cdot \frac{1}{lo g _{a} b} = 1$

Obliczmy, wyniki kolejnych działań:

$ln 7 \cdot lo g_{7} e = lo g_{e} 7 \cdot lo g_{7} e = lo g_{e} 7 \cdot \frac{1}{lo g _{7} e} = 1$

$lo g 5 \cdot lo g_{5} 100 = lo g 5 \cdot \frac{lo g 100}{lo g 5} = lo g 100 = 2$

$lo g_{3} 8 \cdot lo g_{2} 9 = lo g_{3} 8 \cdot \frac{lo g _{3} 9}{lo g _{3} 2} = 3 lo g_{3} 2 \cdot \frac{2}{lo g _{3} 2} = 3 \cdot 2 = 6$