Wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli 

$y=-x^2+8x-7$  

$x_w=\frac{-8}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-8}{-2}=4$       

$y_w=-4^2+8\cdot 4-7=-16+32-7=9$  


Obliczmy miejsca zerowe funkcji

$y=-x^2+8x-7$  

$\Delta =8^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-7\right)=64-28=36$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{36}=6$  

$x_1=\frac{-8-6}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-14}{-2}=7$  

$x_2=\frac{-8+6}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-2}{-2}=1$  


zatem długość podstawy trójkąta wynosi:

$x_1-x_2=7-1=6$  

długość wysokości trójkąta wynosi:

$y_w=9$  


Obliczmy pole powierzchni tego trójkąta:

$P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 9=3\cdot 9=27$  


Wyznaczmy współrzędne wierzchołka paraboli 

$y=\frac{1}{2}{x}^2+3x$  

$x_{w_1}=\frac{-3}{2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{-3}{1}=-3$  

$y_{w_1}=\frac{1}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2+3\cdot \left(-3\right)=\frac{1}{2}\cdot 9-9=4,5-9=-4,5$  


Obliczmy miejsca zerowe funkcji

$y=\frac{1}{2}{x}^2+3x$  

$\frac{1}{2}{x}^2+3x=0$  

$x\left(\frac{1}{2}x+3\right)=0$  

$x_1=0\text{lub}{x}_2=-6$  

Obliczmy długość jednej przekątnej tego rombu:

$\left|x_2-x_1\right|=\left|-6-0\right|=\left|6\right|=6$  


Parabola dana wzorem:

$y=-\frac{1}{2}{x}^2-3x$  

jest odbiciem paraboli 

$y=\frac{1}{2}{x}^2+3x$  

względem osi x, zatem druga współrzędna paraboli 

$y=-\frac{1}{2}{x}^2-3x$  

to

$y_{w_2}=4,5$  

Obliczmy długość drugiej przekątnej tego rombu:

$\left|y_{w_2}-y_{w_1}\right|=\left|4,5-\left(-4,5\right)\right|=\left|4,5+4,5\right|=9$  


Obliczmy pole powierzchni tego rombu:

$P=\frac{6\cdot 9}{2}=\frac{54}{2}=27$  


Funkcja dana wzorem:

$y=-\frac{1}{3}{x}^2+x+6$  

funkcja ta przechodzi przez punkt (0; 6), zatem

wysokość tego trapezu wynosi 6

Obliczmy współrzędne miejsc zerowych tej funkcji:

$\Delta =1^2-4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot 6=1+8=9$  

$\sqrt{\Delta }=3$  

$x_1=\frac{-1-3}{2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{-4}{-\frac{2}{3}}=-4\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=6$  

$x_2=\frac{-1+3}{2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{2}{-\frac{2}{3}}=2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-3$  


Obliczmy długość dłuższej podstawy tego trapezu:

$\left|x_2-x_1\right|=\left|-3-6\right|=\left|-9\right|=9$  


Obliczmy długość krótszej podstawy tego trapezu:

$9-3-3=3$  


Obliczmy pole tego trapezu:

$P=\frac{3+9}{2}\cdot 6=\frac{12}{2}\cdot 6=6\cdot 6=36$