Jeśli liczby x₁ i x₂ są rozwiązaniami równania kwadratowego ax²+bx+c=0, to:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$  

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$  

Powyższe wzory nazywamy wzorami Viete'a.

---

$\text{a)}{x}^2-\frac{3}{7}x-\sqrt{2}=0$  

$\Delta ={\left(-\frac{3}{7}\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-\sqrt{2}\right)=\frac{9}{49}+4\sqrt{2}>0$  

Δ>0, więc równanie ma dwa rozwiązania. Obliczamy sumę i iloczyn tych rozwiązań, korzystając ze wzorów Viete'a:

$x_1+x_2=\frac{\frac{3}{7}}{1}=\frac{3}{7}$  

$x_1\cdot x_2=\frac{-\sqrt{2}}{1}=-\sqrt{2}$  

---

$\text{b)}-x^2+97x-1,2=0$  

$\Delta ={97}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1,2\right)={97}^2-4,8>0$  

Δ>0, więc równanie ma dwa rozwiązania. Obliczamy sumę i iloczyn tych rozwiązań, korzystając ze wzorów Viete'a:

$x_1+x_2=\frac{-97}{-1}=97$  

$x_1\cdot x_2=\frac{-1,2}{-1}=1,2$  

---

$\text{c)}\frac{2}{5}{x}^2-\sqrt{17}x+\frac{1}{4}=0$  

$\Delta ={\left(-\sqrt{17}\right)}^2-4\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=17-\frac{2}{5}=16\frac{3}{5}>0$  

Δ>0, więc równanie ma dwa rozwiązania. Obliczamy sumę i iloczyn tych rozwiązań, korzystając ze wzorów Viete'a:

$x_1+x_2=\frac{\sqrt{17}}{\frac{2}{5}}=\sqrt{17}\cdot \frac{5}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2}$  

$x_1\cdot x_2=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{5}{2}=\frac{5}{8}$  

---

$\text{d)}-57x^2-\frac{3}{\pi }x-703=0$  

$\Delta ={\left(-\frac{3}{\pi }\right)}^2-4\cdot \left(-57\right)\cdot \left(-703\right)=\frac{9}{{\pi }^2}-228\cdot 703<0$  

Δ<0, więc równanie nie ma rozwiązań.

---

$\text{e)}-\sqrt{5}{x}^2-0,12x+13=0$

$\Delta ={\left(-0,12\right)}^2-4\cdot \left(-\sqrt{5}\right)\cdot 13=0,0144+52\sqrt{5}>0$  

Δ>0, więc równanie ma dwa rozwiązania. Obliczamy sumę i iloczyn tych rozwiązań, korzystając ze wzorów Viete'a:

$x_1+x_2=\frac{0,12}{-\sqrt{5}}=\frac{-0,12\sqrt{5}}{5}=-0,024\sqrt{5}$  

$x_1\cdot x_2=\frac{13}{-\sqrt{5}}=-\frac{13\sqrt{5}}{5}$  

---

$\text{f)}1,7x^2+162x-\sqrt{3}=0$  

$\Delta ={162}^2-4\cdot 1,7\cdot \left(-\sqrt{3}\right)={162}^2+4\sqrt{3}\cdot 1,7>0$  

Δ>0, więc równanie ma dwa rozwiązania. Obliczamy sumę i iloczyn tych rozwiązań, korzystając ze wzorów Viete'a:

$x_1+x_2=\frac{-162}{1,7}=-\frac{1620}{17}=-95\frac{5}{17}$  

$x_1\cdot x_2=\frac{-\sqrt{3}}{1,7}=-\frac{10\sqrt{3}}{17}$