a) Przyjmijmy, że x₁, x₂ ∈ (-oo, 1> lub x₁, x₂ ∈ <1, +oo) i x₁<x₂. Wówczas  x₂-x₁>0.

$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=x_2^2-2x_2-\left(x_1^2-2x_1\right)=x_2^2-2x_2-x_1^2+2x_1=\left(x_2^2-x_1^2\right)-2\left(x_2-x_1\right)=\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)-2\left(x_2-x_1\right)=\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1-2\right)$  

• Przypadek I - x₁, x₂ ∈ (-oo, 1>

$x_1<1\text{i}{x}_2<1$  

$x_1+x_2<1+1$  

$x_1+x_2<2$  

$x_1+x_2-2<0$  

Wówczas:

$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\dots =\underset{>0}{\underbrace{\left(x_2-x_1\right)}}\cdot \underset{<0}{\underbrace{\left(x_2+x_1-2\right)}}<0$  

Iloczyn liczb różnych znaków jest liczbą ujemną, więc f(x₂)-f(x₁)<0 i stąd f(x₁)>f(x₂). Zatem funkcja f jest malejąca w przedziale (-oo, 1>.

• Przypadek II - x₁, x₂ ∈ <1, +oo)

$x_1>1\text{i}{x}_2>1$  

$x_1+x_2>1+1$  

$x_1+x_2>2$  

$x_1+x_2-2>0$  

Wówczas:

$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\dots =\underset{>0}{\underbrace{\left(x_2-x_1\right)}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{\left(x_2+x_1-2\right)}}>0$  

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, więc f(x₂)-f(x₁)>0 i stąd f(x₁)<f(x₂). Zatem funkcja f jest rosnąca w przedziale <1, +oo).

---

b) Przyjmijmy, że x₁, x₂ ∈ (-oo, 0) lub x₁, x₂ ∈ (0, +oo) i x₁<x₂. Wówczas x₁-x₂<0 oraz x₁x₂>0 (w każdym z rozważanych przedziałów liczby mają ten sam znak, więc iloczyn dwóch liczb tych samych znaków jest zawsze dodatni).

$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\frac{2}{x_2}-3-\left(\frac{2}{x_1}-3\right)=\frac{2}{x_2}-3-\frac{2}{x_1}+3=\frac{2}{x_2}-\frac{2}{x_1}=2\cdot \left(\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}\right)=2\cdot \frac{x_1-x_2}{x_1{x}_2}<0$  

Iloraz liczb różnych znaków jest liczbą ujemną, więc f(x₂)-f(x₁)<0 i stąd f(x₁)>f(x₂). Zatem funkcja f jest malejąca w przedziale (-oo, 0) oraz w przedziale (0, +oo).

---

c) Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x-5\right|=\{\begin{array}{l}x-5\text{dla}x\ge 5\\ -\left(x-5\right)\text{dla}x<5\end{array}$  

Zatem:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}-x+5\text{dla}x\in (-\infty ,5⟩\\ x-5\text{dla}x\in ⟨5,+\infty )\end{array}$  

• Przypadek I

Przyjmijmy, że x₁, x₂ ∈ (-oo, 5> i x₁<x₂. Wówczas x₁-x₂<0.

$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=-x_2+5-\left(-x_1+5\right)=-x_2+5+x_1-5=x_1-x_2<0$  

f(x₂)-f(x₁)<0, wiec f(x₁)>f(x₂). Zatem funkcja f jest malejąca w przedziale (-oo, 5>.

• Przypadek II

Przyjmijmy, że x₁, x₂ ∈ <5, +oo) i x₁<x₂. Wówczas x₂-x₁>0.

$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=x_2-5-\left(x_1-5\right)=x_2-5-x_1+5=x_2-x_1>0$  

f(x₂)-f(x₁)>0, wiec f(x₁)<f(x₂). Zatem funkcja f jest rosnąca w przedziale <5, +oo).