$\text{a)}{x}^2-5x>-6$  

$x^2-5x+6>0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$  

$x_1=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2$  

$x_2=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$  

  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:   

$x\in \left(-\infty ,2\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  

---

$\text{b)}9x^2+6x+4<3$  

$9x^2+6x+1<0$  

$\Delta =6^2-4\cdot 9\cdot 1=36-36=0$  

$\sqrt{\Delta }=0$  

$x=-\frac{6}{2\cdot 9}=-\frac{6}{18}=-\frac{1}{3}$  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \varnothing$  

---

$\text{c)}5x-10<2x^2$  

$2x^2-5x+10>0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot 10=25-80=-55$  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \mathbb{R}$  

---

$\text{d)}3x\left(x-2\right)<x$  

$3x^2-6x<x\mid -x$  

$3x^2-7x<0$  

$x\left(3x-7\right)<0$  

Wyznaczmy miejsca zerowe:

$x=0\text{lub}3x-7=0$  

$x=0\text{lub}x=\frac{7}{3}$  

$x=0\text{lub}x=2\frac{1}{3}$  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \left(0,2\frac{1}{3}\right)$  

---

$\text{e)}4x\ge -5x\left(2x+1\right)$  

$4x\ge -10x^2-5x\mid +10x^2+5x$  

$10x^2+9x\ge 0$  

$x\left(10x+9\right)\ge 0$  

Wyznaczmy miejsca zerowe:

$x=0\text{lub}10x+9=0$  

$x=0\text{lub}x=-\frac{9}{10}$  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in (-\infty ,-\frac{9}{10}⟩\cup ⟨0,+\infty )$  

---

$\text{f)}5\left(x+3\right)\le 2x\left(x+3\right)$  

$5x+15\le 2x^2+6x\mid -2x^2-6x$  

$-2x^2-x+15\le 0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 15=1+120=121$  

$x_1=\frac{1-11}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-10}{-4}=\frac{5}{2}$  

$x_2=\frac{1+11}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{12}{-4}=-3$  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in (-\infty ,-3⟩\cup ⟨2\frac{1}{2},+\infty )$  

---

$\text{g)}10x<\left(3x-1\right)\left(x+2\right)$  

$10x<3x^2+6x-x-2\mid -10x$  

$0<3x^2-5x-2$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(-2\right)=25+24=49$  

$x_1=\frac{5-7}{2\cdot 3}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$  

$x_2=\frac{5+7}{2\cdot 3}=\frac{12}{6}=2$  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

---

$\text{h)}-x\left(x-4\right)>\left(x-4\right)\left(x+1\right)$  

$-x^2+4x>x^2+x-4x-4\mid -x^2+3x+4$  

$-2x^2+7x+4>0$  

$\Delta =7^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 4=49+32=81$  

$x_1=\frac{-7-9}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-16}{-4}=4$  

$x_2=\frac{-7+9}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \left(-\frac{1}{2},4\right)$  

---

$\text{i)}3x\left(7-2x\right)\le \left(5x+1\right)\left(4-x\right)$  

$21x-6x^2\le 20x-5x^2+4-x\mid +5x^2-19x-4$  

$-x^2+2x-4\le 0$  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \mathbb{R}$