Rysunek I. 

Ze wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej 

$y=-{\left(x-3\right)}^2+4$  

odczytujemy współrzędne wierzchołka W wykresu tej funkcji 

$W=\left(3,4\right)$  

Zauważmy, że wysokość h, h>0 trójkąta równoramiennego opuszczona na podstawę leżącą na osi OX jest równa 

$\underline{\underline{h=4}}$  

 

Obliczymy jeszcze długość podstawy a, a>0 tego trójkąta. 

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej:

$-{\left(x-3\right)}^2+4=0\mid -4$  

$-{\left(x-3\right)}^2=-4\mid :\left(-1\right)$  

${\left(x-3\right)}^2=4\mid \sqrt{}$  

$\left|x-3\right|=2$   

korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy 

$x-3=2\vee x-3=-2$  

$x=5x=1$  

czyli funkcja ma dwa miejsca zerowe 

$x_1=1\text{lub}{x}_2=5$  

długość podstawy a trójkąta równoramiennego jest równa odległości między miejscami zerowymi funkcji kwadratowej, czyli 

$a=x_2-x_1=5-1=\underline{\underline{4}}$  

Obliczamy pole tego trójkąta:

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$  

---

Rysunek II. 

Parabola o ramionach skierowanych "ku górze" dana jest równaniem w postaci iloczynowej

$y=\left(x+1\right)\left(x+5\right)$  

odczytujemy miejsca zerowe tej funkcji  

$x_1=-1\vee x_2=-5$  

Zatem długość krótszej przekątnej e, e>0 rombu wynosi 

$e=|x_1-x_2|=|-1-\left(-5\right)|=|-1+5|=|4|=\underline{\underline{4}}$  

Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka wykresu tej funkcji 

$x_{w_1}=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-1-5}{2}=-3$  

Wyznaczamy drugą współrzędną wierzchołka wykresu tej funkcji 

$y_{w_1}=\left(x_{w_1}+1\right)\left(x_{w_2}+5\right)=\left(-3+1\right)\left(-3+5\right)=-2\cdot 2=-4$  

 

Parabola o ramionach skierowanych "ku dołowi" dana jest równaniem w postaci iloczynowej

$y=-\left(x+1\right)\left(x+5\right)$  

zatem jest odbiciem paraboli y=(x+1)(x+5) w symetrii względem osi OX, czyli druga współrzędna wierzchołka tej paraboli wynosi 

$y_{w_2}=4$  

Obliczmy długość drugiej przekątnej f, f>0 tego rombu:

$f=|y_{w_2}-y_{w_1}|=|4-\left(-4\right)|=|4+4|=|8|=\underline{\underline{8}}$  


Obliczmy pole powierzchni tego rombu:

$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{4\cdot 8}{2}=16$  

---

Rysunek III.

Rozważamy funkcję kwadratową daną wzorem 

$y=-\frac{1}{3}{x}^2+x+6$  

zauważmy, że skoro wyraz wolny we wzorze funkcji jest równy 6, to do wykresu tej funkcji należy punkt (0; 6), czyli wysokość h, h>0 trapezu wynosi

$\underline{\underline{h=6}}$  

Obliczmy współrzędne miejsc zerowych tej funkcji:

$\Delta =1^2-4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot 6=1+8=9$  

$\sqrt{\Delta }=3$  

$x_1=\frac{-1-3}{2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{-4}{-\frac{2}{3}}=-4\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=6$  

$x_2=\frac{-1+3}{2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{2}{-\frac{2}{3}}=2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-3$  


Obliczmy długość dłuższej podstawy a, a>0 tego trapezu:

$a=|x_2-x_1|=|-3-6|=|-9|=\underline{\underline{9}}$  

Obliczmy długość krótszej podstawy b, b>0 tego trapezu:

$b=9-3-3=\underline{\underline{3}}$  


Obliczmy pole tego trapezu:

$P=\frac{\left(a+b\right)\cdot h}{2}=\frac{\left(3+9\right)\cdot 6}{2}=\frac{12\cdot 6}{2}=6\cdot 6=36$