a)  

$\log 4=\log 2^2=2\log 2\approx 2\cdot 0,3=0,6$    

$\log \sqrt{2}=\log 2^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\log 2\approx \frac{1}{2}\cdot 0,3=0,15$  

$\log \left(\frac{1}{2}\right)=\log 2^{-1}=-\log 2\approx -1\cdot 0,3=-0,3$  

$\log 32=\log 2^5=5\log 2\approx 5\cdot 0,3=1,5$  

$\log \left(\frac{1}{2^{10}}\right)=\log {\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=\log 2^{-10}=-10\log 2\approx -10\cdot 0,3=-3$  

---

b)  

$\log 125=\log 5^3=3\log 5\approx 3\cdot 0,7=2,1$  

$\log \sqrt[5]{5}=\log 5^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}\log 5\approx \frac{1}{5}\cdot 0,7=0,14$  

$\log \left(\frac{1}{25}\right)=\log \left(\frac{1}{5^2}\right)=\log {\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\log 5^{-2}=-2\log 5\approx -2\cdot 0,7=-1,4$  

$\log \sqrt[6]{5^5}=\log 5^{\frac{5}{6}}=\frac{5}{6}\log 5\approx \frac{5}{6}\cdot 0,7=\frac{5}{6}\cdot \frac{7}{10}=\frac{7}{12}$  

$\log \left(\frac{\sqrt{5}}{125}\right)=\log \left(\frac{5^{\frac{1}{2}}}{5^3}\right)=\log 5^{\frac{1}{2}-3}=\log 5^{-\frac{5}{2}}=-\frac{5}{2}\log 5\approx$  

$\approx -\frac{5}{2}\cdot 0,7=-1,75$  

---

c)  

$\log 20=\log \left(2^2\cdot 5\right)=\log 2^2+\log 5\approx 2\log 2+0,7\approx 2\cdot 0,3+0,7=0,6+07=1,3$  

$\log 50=\log \left(2\cdot 5^2\right)=\log 2+\log 5^2\approx 0,3+2\log 5\approx 0,3+2\cdot 0,7=0,3+1,4=1,7$  

$\log 0,4=\log \left(\frac{2}{5}\right)=\log 2-\log 5\approx 0,3-0,7=-0,4$  

$\log \left(\frac{\sqrt{2}}{500}\right)=\log \sqrt{2}-\log 500=\log 2^{\frac{1}{2}}-\log \left(125\cdot 4\right)=\frac{1}{2}\log 2-\left(\log 125+\log 4\right)=$  

$=\frac{1}{2}\log 2-\log 5^3-\log 2^2=\frac{1}{2}\log 2-3\log 5-2\log 2\approx \frac{1}{2}\cdot 0,3-3\cdot 0,7-2\cdot 0,3=$  

$=0,15-2,1-0,6=-2,55$  

$\log \left(\sqrt{0,02}\right)=\log \left(\sqrt{\frac{2}{100}}\right)=\log \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{100}}\right)=\log \sqrt{2}-\log \sqrt{100}=\log 2^{\frac{1}{2}}-\log \sqrt{{10}^2}=$  

$=\frac{1}{2}\log 2-\log 10\approx \frac{1}{2}\cdot 0,3-1=0,15-1=-0,85$  

---

d)  

$\log \left(\frac{2}{5}\right)=\log 2-\log 5\approx 0,3-0,7=-0,4$  

$\log \left(\frac{4}{5}\right)=\log 4-\log 5\approx \log 2^2-0,7=2\log 2-0,7\approx 2\cdot 0,3-0,7=0,6-0,7=-0,1$  

$\log 2,5=\log \left(\frac{5}{2}\right)=\log 5-\log 2\approx 0,7-0,3=0,4$  

$\log \left(\frac{25}{64}\right)=\log 25-\log 64=\log 5^2-\log 2^6=2\log 5-6\log 2\approx 2\cdot 0,7-6\cdot 0,3=$  

$=1,4-1,8=-0,4$  

$\log 6,25=\log \left(6\frac{1}{4}\right)=\log \left(\frac{25}{4}\right)=\log 25-\log 4=\log 5^2-\log 2^2=2\log 5-2\log 2\approx$  

$\approx 2\cdot 0,7-2\cdot 0,3=1,4-0,6=0,8$  

---

e)

$\log \left(\frac{5}{8}\right)=\log 5-\log 8=\log 5-\log 2^3=\log 5-3\log 2\approx 0,7-3\cdot 0,3=$  

$=0,7-0,9=-0,2$  

$\log \left(5\sqrt{2}\right)=\log \left(5\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)=\log 5+\log 2^{\frac{1}{2}}=\log 5+\frac{1}{2}\log 2\approx 0,7+\frac{1}{2}\cdot 0,3=$  

$=0,7+0,15=0,85$  

$\log \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)=\log \left(2\sqrt{5}\right)-\log 2=\log \left(2\cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)-\log 5=\log 2+\log 5^{\frac{1}{2}}-\log 5=$  

$=\log 2+\frac{1}{2}\log 5-\log 5=0,3+\frac{1}{2}\cdot 0,7-0,7=0,3+0,35-0,7=0,05$  

$\log \left(5\sqrt{2}\right)=\log \left(5\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)=\log 5+\log 2^{\frac{1}{2}}=\log 5+\frac{1}{2}\log 2\approx 0,7+\frac{1}{2}\cdot 0,3=$  

$=0,7+0,15=0,85$  

$\log \left(\frac{8\sqrt{2}}{25}\right)=\log \left(8\sqrt{2}\right)-\log 25=\log \left(2^3\cdot 2^{\frac{1}{2}}\right)-\log 5^2=\log \left(2^{3+\frac{1}{2}}\right)-2\log 5=$  

$=\log \left(2^{\frac{7}{2}}\right)-2\log 5=\frac{7}{2}\log 2-2\log 5\approx \frac{7}{2}\cdot 0,3-3\cdot 0,7=\frac{7}{2}\cdot \frac{3}{10}-2,1=$  

$=\frac{21}{20}-2,1=\frac{105}{100}-2,1=1,05-2,1=-1,05$  

$\log \left(40\sqrt{2}\right)=\log 40+\log \left(\sqrt{2}\right)=\log \left(4\cdot 10\right)+\log 2^{\frac{1}{2}}=\log 4+\log 10+\frac{1}{2}\log 2=$   

$=\log 2^2+1+\frac{1}{2}\log 2=2\log 2+1+\frac{1}{2}\log 2\approx 2\cdot 0,3+1+\frac{1}{2}\cdot 0,3=$  

$=0,6+1+0,15=1,75$