a)

Wiemy, że:

$a_1=\frac{1}{2}$  

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\cdot 2=3$  

Wzór ogólny:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  

$a_n=\frac{1}{2}\cdot 3^{n-1}$  

Wzór rekurencyjny:

$a_{n+1}=a_n\cdot q$  

$a_1=\frac{1}{2},a_{n+1}=3\cdot a_n$  

---

Wiemy, że:

$a_1=5\sqrt{2}$  

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{10}{5\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$  

Wzór ogólny:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  

$a_n=5\sqrt{2}\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{n-1}$  

Wzór rekurencyjny:

$a_{n+1}=a_n\cdot q$  

$a_1=5\sqrt{2},a_{n+1}=\sqrt{2}\cdot a_n$  

---

Wiemy, że:

$a_1=-2$  

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$  

Wzór ogólny:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  

$a_n=-2\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$  

Wzór rekurencyjny:

$a_{n+1}=a_n\cdot q$  

$a_1=-2,a_{n+1}=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot a_n$  

---

b)

Wzór rekurencyjny ciągu geometrycznego:

$a_{n+1}=a_n\cdot q$  

Ze wzoru rekurencyjnego możemy odczytać, że:

$a_1=13$  

$q=5$  

Wzór ogólny:

$a_n=13\cdot 5^{n-1}$  

---

Wzór rekurencyjny ciągu geometrycznego:

$a_{n+1}=a_n\cdot q$  

Ze wzoru rekurencyjnego możemy odczytać, że:

$b_1=-0,4$  

$q=\frac{1}{7}$  

Wzór ogólny:

$b_n=-0,4\cdot {\left(\frac{1}{7}\right)}^{n-1}$  

---

Wzór rekurencyjny ciągu geometrycznego:

$a_{n+1}=a_n\cdot q$  

Ze wzoru rekurencyjnego możemy odczytać, że:

$c_1=\frac{3}{4}$  

$q=-9$  

Wzór ogólny:

$c_n=\frac{3}{4}\cdot {\left(-9\right)}^{n-1}$  

---

c)

Wzór ogólny ciągu geometrycznego:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  

Ze wzoru ogólnego możemy odczytać, że:

$x_1=19$  

$q=\left(-0,7\right)$  

Wzór rekurencyjny:

$x_1=19,x_{n+1}=\left(-0,7\right)\cdot x_n$  

---

Wzór ogólny ciągu geometrycznego:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  

Przekształcamy wzór do powyższej postaci:

$y_n=-\frac{2}{3}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^n=-\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{3}{2}\right)\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}=-1\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$  

Ze wzoru ogólnego możemy odczytać, że:

$y_1=-1$  

$q=\frac{3}{2}$  

Wzór rekurencyjny:

$y_1=-1,y_{n+1}=\frac{3}{2}\cdot y_n$  

---

Wzór ogólny ciągu geometrycznego:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  

Przekształcamy wzór do powyższej postaci:

$z_n=\frac{-5}{3^n}=\frac{-5}{3\cdot 3^{n-1}}=\frac{-5}{3}\cdot \frac{1}{3^{n-1}}=-\frac{5}{3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$  

Ze wzoru ogólnego możemy odczytać, że:

$z_1=-\frac{5}{3}$  

$q=\frac{1}{3}$  

Wzór rekurencyjny:

$z_1=-\frac{5}{3},z_{n+1}=\left(\frac{1}{3}\right)\cdot z_n$