a)

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do danej prostej jest równy:

$a=-\frac{1}{-\frac{2}{3}}=-1\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}$  

Mamy więc:

$y=\frac{3}{2}x+b$  

Wiemy, że prosta ta przechodzi przez punkt P, zatem:

$0=8\cdot \frac{3}{2}+b$   

$0=12+b\mid -12$   

$-12=b$   

Równanie prostej prostopadłej do danej prostej:

$y=\frac{3}{2}x-12$  

---

b)

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do danej prostej jest równy:

$a=-\frac{1}{8}$  

Mamy więc:

$y=-\frac{1}{8}x+b$  

Wiemy, że prosta ta przechodzi przez punkt P, zatem:

$-3=4\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)+b$   

$-3=-\frac{1}{2}+b\mid +\frac{1}{2}$   

$-2\frac{1}{2}=b$   

Równanie prostej prostopadłej do danej prostej:

$y=-\frac{1}{8}x-2\frac{1}{2}$  

---

c)

Równanie prostej zapiszemy w postaci kierunkowej.

$3x+4y=0\mid -3x$  

$4y=-3x\mid :4$  

$y=-\frac{3}{4}x$  

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do danej prostej jest równy:

$a=-\frac{1}{-\frac{3}{4}}=-1\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{3}$  

Mamy więc:

$y=\frac{4}{3}x+b$  

Wiemy, że prosta ta przechodzi przez punkt P, zatem:

$-5=0\cdot \frac{4}{3}+b$  

$-5=b$   

Równanie prostej prostopadłej do danej prostej:

$y=\frac{4}{3}x-5\mid \cdot 3$  

$3y=4x-15\mid -3y$  

$0=4x-3y-15$  

$4x-3y-15=0$  

---

d)

Równanie prostej zapiszemy w postaci kierunkowej.

$-2x-5y+1=0\mid +5y$  

$-2x+1=5y\mid :5$  

$-\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}=y$  

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do danej prostej jest równy:

$a=-\frac{1}{-\frac{2}{5}}=-1\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{5}{2}$  

Mamy więc:

$y=\frac{5}{2}x+b$  

Wiemy, że prosta ta przechodzi przez punkt A, zatem:

$2=-1\cdot \frac{5}{2}+b$   

$2=-\frac{5}{2}+b\mid +\frac{5}{2}$   

$\frac{9}{2}=b$   

Równanie prostej prostopadłej do danej prostej:

$y=\frac{5}{2}x+\frac{9}{2}\mid \cdot 2$  

$2y=5x+9\mid -2y$  

$0=5x-2y+9$  

$5x-2y+9=0$