a)

Pierwsza współrzędna środka symetrii wykresu funkcji  $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ , gdzie  $a\ne 0$ , dana jest wzorem: 

$x_S=-\frac{b}{3a}$  

Zatem:

$x_S=-\frac{3}{3\cdot \left(-1\right)}=\frac{-3}{-3}=1$  

$y_S=-1^3+3\cdot 1^2+7\cdot 1+11=-1+3+7+11=20$  

Czyli:

$S=\left(1,20\right)$  

---

b)

Aby środek symetrii wykresu funkcji  $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ , gdzie  $a\ne 0$ , leżał na osi  $y$ , pierwsza współrzędna środka symetrii musi być równa  $0$ , więc:

$0=-\frac{b}{3a}$  

Wiemy, że: 

$a\ne 0$  

Stąd otrzymujemy, że:

$b=0$  

Czyli:

$a\ne 0$ ,  $b=0$ ,  $c,d$  - dowolne

---

c)

Przykłady funkcji wielomianowych trzeciego stopnia, których wykresy mają środek symetrii leżący na osi  $y$ :

$y=3x^3+5x-6$  

$y=-x^3-x+2$  

$y=2x^3$  

---

d)

Aby środek symetrii wykresu funkcji  $y=a{x}^3+b{x}^2+cx$ , gdzie  $a\ne 0$ , leżał na osi  $y$ , druga współrzędna środka symetrii musi być równa  $0$ , więc:

$W\left(-\frac{b}{3a}\right)=0$  

Zatem:

$a\cdot {\left(-\frac{b}{3a}\right)}^3+b\cdot {\left(-\frac{b}{3a}\right)}^2+c\cdot \left(-\frac{b}{3a}\right)=0$  

$a\cdot \left(-\frac{b^3}{27a^3}\right)+b\cdot \frac{b^2}{9a^2}-c\cdot \frac{b}{3a}=0$  

$-\frac{a{b}^3}{27a^3}+\frac{b^3}{9a^2}-\frac{bc}{3a}=0$  

$-\frac{b^3}{27a^2}+\frac{b^3}{9a^2}-\frac{bc}{3a}=0$  

$-\frac{b^3}{27a^2}+\frac{3b^3}{27a^2}-\frac{bc}{3a}=0$  

$\frac{2b^3}{27a^2}-\frac{bc}{3a}=0$  

$\frac{2b^3\cdot 3a}{27a^2}-bc=0$  

$\frac{2b^3}{9a}-bc=0$  

$2b^3-9abc=0$