Z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych wiemy, że jeżeli równanie o współczynnikach całkowitych ma rozwiązania całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego.

Sprawdzamy, który z poniższych wielomianów nie ma pierwiastków całkowitych.

A.

Liczba  $-2$  ma cztery całkowite dzielniki:

$1,-1,2,-2$  

Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest rozwiązaniem równania.

Dla  $x=1$  otrzymujemy:

$2\cdot 1^3-1^2-5\cdot 1-2=2-1-5-2=-6\ne 0$  

Liczba  $1$  nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Dla  $x=-1$  otrzymujemy:

$2\cdot {\left(-1\right)}^3-{\left(-1\right)}^2-5\cdot \left(-1\right)-2=-2-1+5-2=0$  

Liczba  $-1$  jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek całkowity.

---

 

B.

Liczba  $1$  ma dwa całkowite dzielniki:

$1,-1$  

Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest rozwiązaniem równania.

Dla  $x=1$  otrzymujemy:

$5\cdot 1^4+2\cdot 1^2-6\cdot 1+1=5+2-6+1=2\ne 0$  

Liczba  $1$  nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Dla  $x=-1$  otrzymujemy:

$5\cdot {\left(-1\right)}^4+2\cdot {\left(-1\right)}^2-6\cdot \left(-1\right)+1=5+2+6+1=14\ne 0$  

Liczba  $-1$  jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Wielomian nie ma pierwiastków całkowitych.

---

C.

Liczba  $-3$  ma cztery całkowite dzielniki:

$1,-1,3,-3$  

Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest rozwiązaniem równania.

Dla  $x=1$  otrzymujemy:

$1^3+4\cdot 1^2-3=1+4-3=2\ne 0$  

Liczba  $1$  nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Dla  $x=-1$  otrzymujemy:

${\left(-1\right)}^3+4\cdot {\left(-1\right)}^2-3=-1+4-3=0$  

Liczba  $-1$  jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek całkowity.

---

D.

Liczba  $2$  ma cztery całkowite dzielniki:

$1,-1,2,-2$  

Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest rozwiązaniem równania.

Dla  $x=1$  otrzymujemy:

$2\cdot 1^5+1^4-5\cdot 1+2=2+1-5+2=0$  

Liczba  $1$  jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Odpowiedź: B