a)

Obliczamy cztery początkowe wyrazy ciągu:

$a_1=2\cdot 1=2$  

$a_2=2\cdot 2=4$  

$a_3=2\cdot 3=6$  

$a_4=2\cdot 4=8$  

Obliczamy podane sumy:

$S_1=a_1=2$  

$S_2=a_1+a_2=2+4=6$  

$S_3=a_1+a_2+a_3=2+4+6=12$  

$S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=2+4+6+8=20$  

---

b)

Obliczamy S_n-1:

$S_{n-1}={\left(n-1\right)}^2-\frac{5}{n-1}=n^2-2n+1-\frac{5}{n-1}$  

Wyznaczamy wzór ogólny ciągu (a_n):

$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-\frac{5}{n}-\left(n^2-2n+1-\frac{5}{n-1}\right)=n^2-\frac{5}{n}-n^2+2n-1+\frac{5}{n-1}=$  

$=-\frac{5}{n}+2n-1+\frac{5}{n-1}$  

Obliczamy pierwszy wyraz ciągu:

$a_1=-\frac{5}{1}+2\cdot 1-1+\frac{5}{1-1}=-5+2-1+0=-4$   

Obliczamy dziesiąty wyraz ciągu:

$a_{10}=-\frac{5}{10}+2\cdot 10-1+\frac{5}{10-1}=-\frac{1}{2}+20-1+\frac{5}{9}=19\frac{1}{18}$