a)

Przyjmijmy, że:

$a_1=2$   (liczba rodziców)

$a_2=2\cdot 2$   (liczba dziadków)

$a_3=2\cdot 2\cdot 2$  (liczba pradziadków)

...

Liczba przodków w każdym poprzednim pokoleniu jest dwa razy większa, więc:

$q=2$  

Obliczamy liczbę przodków w 10 pokoleniach.

$S_{10}=a_1\cdot \frac{1-q^{10}}{1-q}$  

$S_{10}=2\cdot \frac{1-2^{10}}{1-2}$  

$S_{10}=2\cdot \frac{1-1024}{-1}$  

$S_{10}=-2\cdot \left(-1023\right)$  

$S_{10}=2046$  

---

b)

Obliczamy, ile razy liczba 25 mieści się w liczbie 2000 (ile nowych pokoleń narodziło się w tym czasie).

$2000:25=80$  

Obliczamy liczbę przodków w 80 pokoleniach.

$S_{80}=a_1\cdot \frac{1-q^{80}}{1-q}$  

$S_{80}=2\cdot \frac{1-2^{80}}{1-2}$  

$S_{80}=\frac{2\cdot \left(1-2^{80}\right)}{-1}$  

$S_{80}=-\left(2\cdot 1-2\cdot 2^{80}\right)$  

$S_{80}=-\left(2-2^{1+80}\right)$  

$S_{80}=-\left(2-2^{81}\right)$  

$S_{80}=2^{81}-2$  

Mamy tutaj do czynienia z tzw. "paradoksem liczby przodków".

Pary zawsze tworzone są pomiędzy osobami w pewnym stopniu ze sobą spokrewnionymi, więc każdy ze wspólnych przodków będzie liczony dwukrotnie w drzewie genealogicznym każdego z jej potomków. Przy rozpatrywaniu wielu pokoleń zjawisko to zdarza się bardzo często, stąd ta sprzeczność.