a)

Wyznaczamy wyraz dwudziesty pierwszy:

$a_{21}=a_1+\left(21-1\right)\cdot r=a_1+20r=42+20\cdot \left(-3\right)=42-60=-18$  

Obliczamy sumę dwudziestu jeden początkowych wyrazów tego ciągu.

$S_{21}=\frac{a_1+a_{21}}{2}\cdot 21=\frac{42+\left(-18\right)}{2}\cdot 21=\frac{42-18}{2}\cdot 21=\frac{24}{2}\cdot 21=$  

$=12\cdot 21=252$  

---

b)

Wyznaczamy pierwszy i trzydziesty piąty.

$a_1=8-5\cdot 1=8-5=3$  

$a_{35}=8-5\cdot 35=8-175=-167$  

Obliczamy sumę trzydziestu pięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

$S_{35}=\frac{a_1+a_{35}}{2}\cdot 35=\frac{3+\left(-167\right)}{2}\cdot 35=\frac{3-167}{2}\cdot 35=\frac{-164}{2}\cdot 35=$  

$=-82\cdot 35=-2870$  

---

c)

Różnica tego ciągu jest równa:

$r=a_2-a_1=-5-\left(-5\frac{1}{2}\right)=-5+5\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$  

Wyznaczamy setny wyraz:

$a_{100}=a_1+\left(100-1\right)\cdot r=a_1+99r=-5\frac{1}{2}+99\cdot \frac{1}{2}=-5\frac{1}{2}+\frac{99}{2}=$  

$=-\frac{11}{2}+\frac{99}{2}=\frac{88}{2}=44$  

Obliczamy sumę stu początkowych wyrazów tego ciągu.

$S_{100}=\frac{a_1+a_{100}}{2}\cdot 100=\frac{-5\frac{1}{2}+44}{2}\cdot 100=\frac{-\frac{11}{2}+\frac{88}{2}}{2}\cdot 100=\frac{\frac{77}{2}}{2}\cdot 100=$  

$=\frac{77}{4}\cdot 100=1925$  

---

d)

Wyznaczamy pierwszy wyraz tego ciągu:

$a_7=a_1+\left(7-1\right)\cdot r$  

$a_7=a_1+6r$  

Zatem:

$3\frac{2}{3}=a_1+6r$  

Wiemy też, że:

$S_{10}=21$  

Czyli:

$21=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10$  

$21=\left(a_1+a_{10}\right)\cdot 5\mid :5$  

$4\frac{1}{5}=a_1+a_{10}$  

Tworzymy układ równań:

$\{\begin{array}{l}3\frac{2}{3}=a_1+6r\\ 4\frac{1}{5}=a_1+a_{10}\end{array}$  

Ze wzoru ogólnego ciągu otrzymujemy:

$a_{10}=a_1+\left(10-1\right)\cdot r=a_1+9r$  

Zatem:

$\{\begin{array}{l}3\frac{2}{3}=a_1+6r\mid -6r\\ 4\frac{1}{5}=a_1+a_1+9r\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3\frac{2}{3}-6r=a_1\\ 4\frac{1}{5}=2a_1+9r\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\frac{2}{3}-6r\\ 4\frac{1}{5}=2\left(3\frac{2}{3}-6r\right)+9r\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\frac{2}{3}-6r\\ 4\frac{1}{5}=7\frac{1}{3}-12r+9r\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\frac{2}{3}-6r\\ 4\frac{1}{5}=7\frac{1}{3}-3r\mid +3r\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\frac{2}{3}-6r\\ 3r+4\frac{1}{5}=7\frac{1}{3}\mid -4\frac{1}{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\frac{2}{3}-6r\\ 3r=\frac{47}{15}\mid :3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\frac{2}{3}-6r\\ r=\frac{47}{45}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\frac{2}{3}-6\cdot \frac{47}{45}\\ r=\frac{47}{45}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\frac{2}{3}-\frac{94}{15}\\ r=\frac{47}{45}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=\frac{55}{15}-\frac{94}{15}\\ r=\frac{47}{45}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=-\frac{13}{5}\\ r=\frac{47}{45}\end{array}$  

---

e)

Wiemy, że:

$a_4=-1,9$  

$a_7=-4$  

Ze wzoru ogólnego ciągu:

$a_4=a_1+3r$  

$a_7=a_1+6r$  

Możemy więc zapisać:

$\{\begin{array}{l}-1,9=a_1+3r\\ -4=a_1+6r\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-1,9=a_1+3r\\ -4=a_1+3r+3r\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-1,9=a_1+3r\\ -4=-1,9+3r\mid +1,9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-1,9=a_1+3r\\ -2,1=3r\mid :3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-1,9=a_1+3r\\ -0,7=r\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-1,9=a_1+3\cdot \left(-0,7\right)\\ r=-0,7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-1,9=a_1-2,1\mid +2,1\\ r=-0,7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0,2=a_1\\ r=-0,7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=0,2\\ r=-0,7\end{array}$  

Wyznaczamy wyraz dziewiętnasty:

$a_{19}=a_1+18r=0,2+18\cdot \left(-0,7\right)=0,2-12,6=-12,4$  

Obliczamy sumę dziewiętnastu początkowych wyrazów tego ciągu.

$S_{19}=\frac{a_1+a_{19}}{2}\cdot 19=\frac{0,2+\left(-12,4\right)}{2}\cdot 19=\frac{0,2-12,4}{2}\cdot 19=\frac{-12,2}{2}\cdot 19=$  

$=-6,1\cdot 19=-115,9$