Założenia: 

$x\ne y$  

$x^2+x=y^2+y$  

Należy pokazać, że   $x+y+1=0$  . 

Mamy więc: 

$x^2+x=y^2+y$

$x^2+x-y^2-y=0$

$\underset{\star }{\underbrace{x^2-y^2}}+x-y=0$  
$\left(\star \right)$   korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów 

$\left(x+y\right)\left(x-y\right)+\left(x-y\right)=0$

$\left(x-y\right)\left(x+y+1\right)=0$   

Iloczyn dwóch czynników jest równy 0, gdy przynajmniej jeden z nich jest równy 0. 

$x-y=0\vee x+y+1=0$  

$x=y\vee x+y+1=0$    

Z założenia wiemy, że  $x\ne y$  . Równość x=y nie jest więc prawdziwa. 

Wynika z tego, że x + y + 1 = 0.    c.n.d.