Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BDA mamy: 

${\left|BD\right|}^2+3^2=4^2$

${\left|BD\right|}^2+9=16\mid -9$

${\left|BD\right|}^2=7$

$\left|BD\right|=\sqrt{7}$     

W trójkącie ABC: 

$\left|\angle ABC\right|=\alpha$   

$\left|\angle CAB\right|={90}^{\circ }$

$\left|\angle BCA\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-\alpha ={90}^{\circ }-\alpha$   

Zauważmy, że w trójkątach ABC i BDA mamy: 

$\left|\angle CAB\right|=\left|\angle BDA\right|={90}^{\circ }$  

$\left|\angle BCA\right|=\left|\angle DAB\right|={90}^{\circ }-\alpha$

$\left|\angle ABC\right|=\left|\angle ABD\right|=\alpha$   

Na podstawie cechy kąt - kąt - kąt możemy stwierdzić, że trójkąty te są podobne. 

Korzystając z podobieństwa trójkątów ABC i BDA mamy: 

$\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BD\right|}{\left|AD\right|}$  

$\frac{4}{\left|AC\right|}=\frac{\sqrt{7}}{3}$  

$\left|AC\right|=\frac{4\cdot 3}{\sqrt{7}}=\frac{12}{\sqrt{7}}=\frac{12}{\sqrt{7}}\cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{12\sqrt{7}}{7}$  

Pole trójkąta ABC wynosi więc: 

${\mathbf{P}}_{\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}}=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{4}}^2\cdot \frac{12\sqrt{7}}{7}=\frac{24\sqrt{7}}{7}$