${100}^2-{99}^2+{98}^2-{97}^2+\dots +2^2-1^2$  

Zauważmy, że powyższe działanie możemy zapisać korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów. 

$\left({100}^2-{99}^2\right)+\left({98}^2-{97}^2\right)+\left({96}^2-{95}^2\right)+\dots +\left(4^2-3^2\right)+\left(2^2-1^2\right)=$  

$=\left(100+99\right)\left(100-99\right)+\left(98+97\right)\left(98-97\right)+\left(96+95\right)\left(96-95\right)+\dots +\left(4+3\right)\left(4-3\right)+\left(2+1\right)\left(2-1\right)=$  

$=199\cdot 1+195\cdot 1+191\cdot 1+\dots +7\cdot 1+3\cdot 1=199+195+191+\dots +7+3$  

Zauważmy, że kolejne składniki sumy tworzą ciąg arytmetyczny postaci: 

$3,7,\dots ,191,195,199$  

Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 3. 

$a_1=3$  

Ostatni, pięćdziesiąty wyraz jest równy 199 (Od 1 do 100 mamy 100 liczb. Połączyliśmy je w pary, więc otrzymaliśmy 100:2=50 par). 

$a_{50}=199$  

Różnica wynosi: 

$r=7-3=4$  

Obliczamy ile wynosi suma wyrazów tego ciągu. 

$S_{50}=\frac{3+199}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{50}}^{25}=202\cdot 25=5050$