Jeżeli równanie ma dwa różne pierwiastki to:

$1)\Delta >0$  

Stosunek pierwiastków ma wynosić 2:

$2)\frac{x_1}{x_2}=2$  

Skorzystamy ze wzorów Viete'a:

$3)x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2\frac{a}{1}=-2a$  

$4)x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{1}=2$  

 

Pierwszy warunek:

$\Delta ={\left(2a\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=4a^2-8=4\left(a^2-2\right)=4\left(a-\sqrt{2}\right)\left(a+\sqrt{2}\right)$   

Wyznaczmy a dla których wyróżnik jest większy od 0:

$\Delta >0$  

$4\left(a-\sqrt{2}\right)\left(a+\sqrt{2}\right)>0$  

$a_1=\sqrt{2}\vee a_2=-\sqrt{2}$  

$a\in \left(-\infty ,-\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2},\infty \right)$  

 

Rozwiążemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}{x}_1=2x_2\\ x_1+x_2=-2a\\ x_1\cdot x_2=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_1=2x_2\\ 3x_2=-2a\\ 2x_2^2=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_1=2x_2\\ x_2=-\frac{2}{3}a\\ x_2^2=1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_2=1\\ -\frac{2}{3}a=1\\ x_1=2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}{x}_2=-1\\ -\frac{2}{3}a=-1\\ x_1=-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_1=2\\ x_2=1\\ a=-\frac{3}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}{x}_1=-2\\ x_2=-1\\ a=\frac{3}{2}\end{array}$  

Oba rozwiązania należą do badanego przedziału a więc:

$a\in \left\{-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right\}$