Jeżeli jedna z cyfr ze zbioru {1, 2, . . . , 9} ma występować 5 razy to musimy obliczyć na ile razy można ustawić 5 takich samych cyfr w liczbie złożonej z dziesięciu cyfr. Tych możliwości jest:

$\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$  

Cyfr w naszym zbiorze jest 9, zatem:

$9\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$  

Pozostało nam jeszcze 5 miejsc na wstawienie cyfr ze zbioru 8-elementowego. Szóstą cyfrę możemy wybrać na 8 sposobów, siódmą na 7, ósmą na 6, dziewiątą na 5 a ostatnią na 4 sposoby. Liczbę możliwych rozmieszczeń opisuje iloczyn:

$8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4$  

Wszystkich liczb dziesięciocyfrowych, w zapisie których występuje sześć różnych cyfr ze zbioru {1, 2, . . . , 9} jest:

$9\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4$  

 

Dwumian wynosi:

$\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)=\frac{10!}{\left(10-5\right)!\cdot 5!}=\frac{5!\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{5!\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{120}=\frac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 9}{12}=\frac{7\cdot 8\cdot 9}{2}=7\cdot 4\cdot 9=28\cdot 9=28\cdot \left(10-1\right)=280-28=252$  

Stąd:

$9\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=9\cdot 252\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=15240960$