Obliczmy wyróżnik funkcji:

$\Delta ={\left(-3^9\right)}^2-4\cdot 2\cdot {27}^7=3^{18}-8\cdot {\left(3^3\right)}^7=3^{18}-8\cdot 3^{21}=3^{18}\left(1-8\cdot 3^3\right)$  

Zauważmy, że:

$3^{18}>0$  

$1-8\cdot 3^3<0$  

A więc iloczyn obu liczb jest ujemny. Stąd wynika, że:

$\Delta <0$  

A więc funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych.

 

Drugi sposób:

Zauważmy, że współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni a więc parabola ma ramiona skierowane ku górze. Jeżeli druga współrzędna wierzchołka jest dodatnia to funkcja będzie leżeć stale ponad osią x czyli nie będzie miała miejsc zerowych. Wyznaczymy pierwszą współrzędną wierzchołka:

$x_P=\frac{-b}{2a}=\frac{3^9}{4}$   

Wiemy, że:

$f\left(x_P\right)=y_P$  

A więc:

$f\left(\frac{3^9}{4}\right)=2\cdot {\left(\frac{3^9}{4}\right)}^2-3^9\cdot \frac{3^9}{4}+{\left(3^3\right)}^7=2\cdot \frac{3^{18}}{16}-\frac{3^{18}}{4}+3^{21}=\frac{3^{18}}{8}-\frac{2\cdot 3^{18}}{8}+3^{21}=-\frac{3^{18}}{8}+3^{21}=3^{21}-\frac{3^{18}}{8}$  

Wiemy, że:

$3^{21}-3^{18}>0$  

a więc tym bardziej:

3^21 - 3^18/8>0

A więc funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych.