Rysunek poglądowy:

Skoro przekątna AC jest osią symetrii czworokąta to ten czworokąt jest deltoidem(trapez równoramienny ma oś symetrii, która przechodzi przez środki podstaw lecz nie może zawierać przekątnej). Przekątna AC, która zawiera się w osi symetrii deltoidu jest również średnicą okręgu w który wpisano deltoid. Stąd wynika, że Trójkąty ABC i ACD są prostokątne. Przekształćmy równanie prostej zawierającej przekątną AC do postaci kierunkowej:

$x-y+2=0$  

$AC:y=x+2$  

Prosta BD jest prostopadła do prostej AC, jest dana równaniem:

$y=-x+q$   

Punkt B należy do prostej BD zatem:

$8=0+q$  

$q=8$  

czyli

$BD:y=-x+8$  

Oznaczmy punkt przecięcia prostych BD i AC literą S:

$\{\begin{array}{l}y=x+2\\ y=-x+8\end{array}$  

$x+2=-x+8$  

$2x=6$  

$x=3$  

Stąd:

$y=-3+8=5$  

$S=\left(3,5\right)$  

Zauważmy, że punkty B i D są równo odległe od punktu S i leżą na tej samej prostej zatem:

$\overrightarrow{SB}=-\overrightarrow{SD}$  

$\left(0-3,8-5\right)=-\left(x_D-3,y_D-5\right)$  

$\left(-3,3\right)=\left(3-x_D,5-y_D\right)$  

$\{\begin{array}{l}3-x_D=-3\\ 5-y_D=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x_D=-6\\ -y_D=-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_D=6\\ y_D=2\end{array}$  

$D=\left(6,2\right)$  

Zauważmy, że punkt C to punkt przecięcia się prostej AC oraz prostej DC. Równanie prostej AC już mamy zatem musimy wyznaczyć równanie prostej DC. Prosta DC jest prostopadła do prostej AD zatem zaczniemy od wyznaczenia równania prostej AD:

$AD:f\left(x\right)=ax+b$  

$\{\begin{array}{l}f\left(30\right)=32\\ f\left(6\right)=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}30a+b=32\\ 6a+b=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=32-30a\\ b=2-6a\end{array}$  

$32-30a=2-6a$  

$30=24a$  

$a=\frac{5}{4}$  

oraz

$b=32-30\cdot \frac{5}{4}=32-15\cdot \frac{5}{2}=\frac{64}{2}-\frac{75}{2}=-\frac{11}{2}$  

$AD:f\left(x\right)=\frac{5}{4}x-\frac{11}{2}$  

Prosta CD jest prostopadła do prostej AD zatem:

$CD:g\left(x\right)=cx+d$  

$\frac{5}{4}\cdot c=-1$  

$c=-\frac{4}{5}$  

do prostej AD należy punkt D zatem: 

$g\left(x\right)=-\frac{4}{5}x+d$  

$g\left(6\right)=2$  

$-\frac{4}{5}\cdot 6+d=2$  

$-\frac{24}{5}+d=2$  

$d=\frac{34}{5}$  

czyli

$CD:g\left(x\right)=-\frac{4}{5}x+\frac{34}{5}$  

Punkt przecięcia prostych AC i CD:

$\{\begin{array}{l}y=x+2\\ y=-\frac{4}{5}x+\frac{34}{5}\end{array}$  

$x+2=-\frac{4}{5}x+\frac{34}{5}\mid \cdot 5$   

$5x+10-4x+34$  

$9x=24$  

$x=\frac{24}{9}$  

$x=\frac{8}{3}$  

oraz

$y=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}$  

$C=\left(\frac{8}{3},\frac{14}{3}\right)$