Żeby wyznaczyć kąt między ścianami bocznymi ABS i CBS musimy poprowadzić prostą przechodzącą przez punkt A, prostopadłą do płaszczyzny zawierającej ścianę boczną CBS. Rysunek poglądowy:

Zauważmy, że:

$\left|AD\right|=\left|CD\right|=a$  

$\left|\angle ADS\right|=\left|\angle CDS\right|={90}^o$   

oraz bok DS jest wspólny dla obu trójkątów ADS i CDS. Zatem są one przystające. Stąd wynika, że:

$\left|AS\right|=\left|CS\right|$  

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ADS:

${\left|AS\right|}^2={\left|AD\right|}^2+{\left|SD\right|}^2=a^2+4a^2=5a^2$  

$\left|AS\right|=\sqrt{5}a$  

Trójkąt ABS jest prostokąny zatem:

${\left|SB\right|}^2={\left|AS\right|}^2+{\left|AB\right|}^2=5a^2+a^2=6a^2$  

$\left|SB\right|=\sqrt{6}a$  

Pole trójkąta prostokątnego ABS możemy wyrazić na dwa sposoby, jako połowę iloczynu długości przyprostokątnych:

$P_{ABS}=\frac{1}{2}\cdot \left|AS\right|\cdot \left|AB\right|=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{5}a\cdot a=\frac{\sqrt{5}{a}^2}{2}$  

oraz jako połowę iloczynu długości podstawy SB i wysokości AE opuszczonej na tę podstawę:

$P_{ABS}=\frac{1}{2}\cdot \left|SB\right|\cdot \left|AE\right|=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{6}a\cdot \left|AE\right|$  

Stąd:

$\frac{\sqrt{5}{a}^2}{2}=\frac{\sqrt{6}a\cdot \left|AE\right|}{2}$  

$\sqrt{5}{a}^2=\sqrt{6}a\cdot \left|AE\right|$  

$\left|AE\right|=\frac{\sqrt{5}{a}^2}{\sqrt{6}a}=\sqrt{\frac{5}{6}}a$  

Trójkąty CBS i ABS są przystające zatem:

$\left|CE\right|=\left|AE\right|=\sqrt{\frac{5}{6}}a$  

Przekątna AC ma długość:

$\left|AC\right|=a\sqrt{2}$  

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ACE:

${\left|AC\right|}^2={\left|AE\right|}^2+{\left|CE\right|}^2-2\cdot \left|AE\right|\cdot \left|CE\right|\cdot \cos \alpha =\frac{5}{6}{a}^2+\frac{5}{6}{a}^2-2\cdot \frac{5}{6}{a}^2\cos \alpha =\frac{5}{3}{a}^2-\frac{5}{3}{a}^2\cos \alpha$  

Stąd:

$2a^2=\frac{5}{3}{a}^2-\frac{5}{3}{a}^2\cos \alpha$  

$\frac{1}{3}{a}^2=-\frac{5}{3}{a}^2\cos \alpha$  

$\cos \alpha =-\frac{\frac{a^2}{3}}{\frac{5a^2}{3}}$  

$\cos \alpha =-\frac{a^2}{3}\cdot \frac{3}{5a^2}$  

$\cos \alpha =-\frac{1}{5}$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$   

${\sin }^2\alpha +\frac{1}{25}=1$  

${\sin }^2\alpha =\frac{24}{25}$  

$\left|\sin \alpha \right|=\frac{2\sqrt{6}}{5}$  

$\alpha \in \left(0^o,{180}^o\right)\Rightarrow \sin \alpha >0$  

$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$