Rysunek poglądowy:

Skoro na czworokącie da się opisać okrąg to:

$\alpha +\beta ={180}^o\iff \alpha ={180}^o-\beta$  

Zatem:

$\cos \alpha =\cos \left({180}^o-\beta \right)=-\cos \beta$  

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC:

${\left|AC\right|}^2={\left|AB\right|}^2+{\left|BC\right|}^2-2\cdot \left|AB\right|\cdot \left|BC\right|\cdot \cos \beta =4+9-2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos \beta =13-12\cos \beta =13+12\cos \alpha$  

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ACD:

${\left|AC\right|}^2={\left|DA\right|}^2+{\left|CD\right|}^2-2\cdot \left|DA\right|\cdot \left|CD\right|\cdot \cos \alpha =25+16-2\cdot 5\cdot 4\cdot \cos \alpha =41-40\cos \alpha$  

A więc:

$13+12\cos \alpha =41-40\cos \alpha$  

$52\cos \alpha =28$  

$\cos \alpha =\frac{28}{52}$  

$\cos \alpha =\frac{7}{13}$  

A więc:

${\left|AC\right|}^2=13+12\cos \alpha =13+12\cdot \frac{7}{13}=13+\frac{84}{13}=\frac{169}{13}+\frac{84}{13}=\frac{253}{13}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{\frac{253}{13}}$