Z pudła, w ktorym umieszczono...- Zadanie Zadanie 14: Teraz matura. Matematyka. Arkusze maturalne poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Oznaczenia:

A - Wyrzucenie sześciu oczek przynajmniej raz.

B_i - Wylosowano i kul czarnych.

Wszystkich możliwości na wylosowanie jest trzech kul jest:

$∣ Ω ∣ = (53) = \frac{5 !}{3 ! \cdot 2 !} = \frac{3 ! \cdot 4 \cdot 5}{3 ! \cdot 2} = 2 \cdot 5 = 10$

Prawdopodobieństwo zdarzeń B w zależności od liczby wylosowanych kul czarnych:

$P (B_{1}) = \frac{( 3 1 )}{10} = \frac{3}{10}$

$P (B_{2}) = \frac{( 3 2 )}{10} = \frac{\frac{3 !}{2 ! \cdot 1 !} \cdot 2}{10} = \frac{\frac{2 ! \cdot 3}{2 !}}{5} = \frac{3}{5}$

$P (B_{3}) = \frac{1}{10}$

Zdarzenia B₁, B₂, B₃ są parami rozdzielne a suma tych zdarzeń daje wszystkie możliwe wyniki(gdyż nie da się nie wylosować kuli czarnej). Prawdopodobieństwa są dodatnie zatem możemy skorzystać z prawdopodobieństwa całkowitego. Zdarzenie A' polega na tym, że rzucając kostką sześcienną nie wypada nam sześć oczek. Jeżeli wylosowano jedną kulę czarną to prawdopodobieństwo, że nie wyrzucimy sześciu oczek podczas jednego rzutu wynosi:

$P (A^{'} ∣ B_{1}) = \frac{5}{6}$

Jeżeli wylosujemy dwie czarne kule to prawdopodobieństwo, że nei wyrzucimy sześciu oczek podczas żadnego z dwóch rzutów wynosi:

$P (A^{'} ∣ B_{2}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$

Analogicznie dla trzech:

$P (A^{'} ∣ B_{3}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{125}{216}$

Prawdopodobieństwo zdarzenia A':

$P (A^{'}) = P (A^{'} ∣ B_{1}) \cdot P (B_{1}) + P (A^{'} ∣ B_{2}) \cdot P (B_{2}) + P (A^{'} ∣ B_{3}) \cdot P (B_{3}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10} + \frac{25}{36} \cdot \frac{3}{5} + \frac{125}{216} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{4} + \frac{5}{12} + \frac{25}{432} = \frac{108}{432} + \frac{180}{432} + \frac{25}{432} = \frac{313}{432}$