Przekształćmy wyrażenia wewnętrzne:

${\log }_4\left(\sin \left(\frac{2}{3}\pi \right)\right)-{\log }_4(2\cos \left(\left(\frac{11}{6}\pi \right)\right)={\log }_4\left(\sin \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)\right)-{\log }_4\left(2\cos \left(2\pi -\frac{\pi }{6}\right)\right)={\log }_4\left(\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)\right)-{\log }_4\left(2\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)\right)={\log }_4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-{\log }_4\left(2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)={\log }_4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-{\log }_4\left(\sqrt{3}\right)={\log }_4\left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}\right)={\log }_4\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}$  

A więc:

$\cos \left(2x\cdot \left({\log }_4\left(\sin \left(\frac{2}{3}\pi \right)\right)-{\log }_4\left(2\cos \left(\frac{11}{6}\pi \right)\right)\right)\right)=\sin 2x$  

$\cos \left(2x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right)=\sin \left(2x\right)$  

$\cos \left(-x\right)=\sin \left(2x\right)$  

$\cos x=2\sin x\cos x$  

$2\sin x\cos x-\cos x=0$  

$\cos x\left(2\sin x-1\right)=0$  

$\cos x=0\vee \sin x=\frac{1}{2}$  

$x_1=\frac{\pi }{2}+k\pi \vee x_2=\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee x_3=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in C$  

Wyznaczmy wszystkie rozwiązania należące do przedziału  $\left[0,3\pi \right]$  

$\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}$  

$\frac{\pi }{6},\frac{13\pi }{6}$  

$\frac{5\pi }{6},\frac{17\pi }{6}$  

Podsumowując, rozwiązaniami równania w badanym przedziale są:

$\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2},\frac{13\pi }{6},\frac{5\pi }{2},\frac{17\pi }{6}$