Rozpatrzmy funkcję:

$f\left(x\right)=x^3+6c{x}^2-15c^{2}x+24c$  

Obliczmy pochodną:

$f^{\text{′}}\left(x\right)=3x^2+12cx-15c^2$  

żeby funkcja f miała trzy miejsca zerowe to musza istnieć dwa ekstrema x₁, x₂ i muszą być różnych znaków. Zatem:

$f\left(x_1\right)\cdot f\left(x_2\right)<0$  

Skupmy się na pochodnej:

$f^{{}^{\prime \prime }}\left(x\right)=3x^2+12cx-15c^2=3\left(x^2+4cx-5c^2\right)=3\left(x^2-cx+5cx-5c^2\right)=3\left(x\left(x-c\right)+5c\left(x-c\right)\right)=3\left(x-c\right)\left(x+5c\right)$  

Miejsca zerowe to:

$x_1=c\vee x_2=-5c$  

W każdym z punktów dochodzi do zmiany znaku(wykresem pochodnej jest parabola) zatem podane punkty są ekstremami. Zatem:

$f\left(c\right)=c^3+6c^3-15c^3+24c=-8c^3+24c=-8c\left(c^2-3\right)$  

$f\left(-5c\right)=-125c^3+6c\cdot 25c^2-15c^2\cdot \left(-5c\right)+24c=-125c^2+150c^3+75c^3+24c=100c^3+24c=4c\left(25c^2+6\right)$  

A więc:

$f\left(c\right)\cdot f\left(-5c\right)<0$  

$-8c\left(c^2-3\right)\cdot 4c\left(25c^2+6\right)<0\mid :\left(25c^2+6\right)$  

$-32c^2\left(c-\sqrt{3}\right)\left(c+\sqrt{3}\right)<0$  

$c_1=0\vee c_2=\sqrt{3}\vee c_3=-\sqrt{3}$   

$c\in \left(-\infty ,-\sqrt{3}\right)\cup \left(\sqrt{3},\infty \right)$