Jeżeli punkt p należy do zbioru wartości funkcji to:

$f\left(x\right)=p$  

$4\frac{x^2}{x^2+x+2}=p$  

$4x^2=p{x}^2+px+2p$  

$4x^2-p{x}^2-px-2p=0$  

$\left(4-p\right)x^2-px-2p=0$  

Jeżeli p=4 to równanie nie jest kwadratowe oraz:

$-4x-2=0$  

$4x=-2$  

$x=-\frac{1}{2}$  

Rozwiązanie istnieje.

$\text{Jez˙eli}p\ne 4$  

$\Delta \ge 0$  

$p^2-4\cdot \left(4-p\right)\cdot \left(-2p\right)\ge 0$  

$p^2+8p\left(4-p\right)\ge 0$  

$p\left(p+8\left(4-p\right)\right)\ge 0$  

$p\left(p+32-8p\right)\ge 0$  

$p\left(32-7p\right)\ge 0$  

$-p\left(7p-32\right)\ge 0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$p\left(7p-32\right)\le 0$  

$p_1=0\vee p_2=\frac{32}{7}$  

$p_1=0\vee p_2=4\frac{4}{7}$  

$p\in ⟨0,4\frac{4}{7}⟩\left\{4\right\}$  

 

Podsumowując oba przypadki otrzymujemy, że:

$p\in ⟨0,4\frac{4}{7}⟩$