Jeżeli ma istnieć suma szeregu geometrycznego to:

$\left|\cos x\right|<1$  

$-1<\cos x<1$  

$x\in R\backslash \left\{k\pi \right\},k\in C$

Stąd:

$\frac{{\cos }^{2}x}{1-\cos x}=1+\cos x$  

${\cos }^{2}x=\left(1+\cos x\right)\left(1-\cos x\right)$  

${\cos }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$  

$2{\cos }^{2}x=1$  

${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$  

$\left|\cos x\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\vee \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$x_1=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x_2=-\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x_3=\pi -\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x_4=-\pi +\frac{\pi }{4}+2k\pi$  

$x_1=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x_2=-\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x_3=\frac{3\pi }{4}+2k\pi \vee x_4=-\frac{3\pi }{4}+2k\pi ,k\in C$  

Możemy to zapisać jako:

$x=\frac{\pi }{4}+k\pi \vee x=-\frac{\pi }{4}+\pi ,k\in C$  

Możemy to zapisać za pomocą warunku:

$x_0=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in C$   

Najmniejsze dodatnie rozwiązanie to:

$\text{Dla}k=0,x=\frac{\pi }{4}$