a)

Oznaczmy:

$C\left(x_c,y_c\right)$  

$D\left(x_d,y_d\right)$  

 

Punkt E jest środkiem odcinka AC, zatem otrzymujemy: 

$\{\begin{array}{l}\frac{-2+x_c}{2}=1\\ \frac{-1+y_c}{2}=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2+x_c=2\\ -1+y_c=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_c=4\\ y_c=7\end{array}$  

$C\left(4,7\right)$  

 

Punkt E jest środkiem odcinka BC zatem otrzymujemy:

$\{\begin{array}{l}\frac{6+x_d}{2}=1\\ \frac{3+y_d}{2}=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}6+x_d=2\\ 3+y_d=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_d=-4\\ y_d=3\end{array}$  

$D\left(-4,3\right)$

---

b)

Wystarczy pokazać, że prosta zawierająca bok AB jest prostopadła do prostej zawierającej bok BC, czyli przy oznaczenia:

$pr.AB:y=ax+b$  

$pr.BC:y=a_{1}x+b$  

spełniony jest warunek:

$a\cdot a_1=-1$  

 

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_{AB}=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}=\frac{3-\left(-1\right)}{6-\left(-2\right)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$  

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej BC:

$a_{BC}=\frac{y_c-y_b}{x_c-x_b}=\frac{7-3}{4-6}=\frac{4}{-2}=-2$  

 

Sprawdźmy czy spełniony jest warunek:

$a\cdot a_1=-1$  

$\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)=-1$  

$-1=-1$  

Pokazaliśmy, że proste są prostopadłe.

Skoro proste AB i BC są prostopadłe, to równoległobok ABCD jest prostokątem.