Przypomnijmy:

Proste opisane równaniami Ax+By+C=0 i A₁x+B₁y+C₁=0 są prostopadłe wtedy, gdy:

$AA1+B{B}_1=0$      

---

a)

$5A_1-1B_1=0$  

$5A_1=B_1$  

Powyższe równanie jest spełnione dla:

$A_1=1,B_1=5$  

Równanie prostej l możemy zapisać w postaci:

$A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$  

$x+5y+C_1=0$  

Podstawiając współrzędne punktu P otrzymujemy:

$-1+5\cdot 2+C_1=0$  

$C_1=-9$  

Zatem otrzymujemy:

$\underline{\underline{x+5y-9=0}}$  

---

b)

Prosta k jest postaci:

$k:y+4=0$  

$k:y=-4$  

Prosta prostopadła do prostej k jest postaci:

$l:x=b$  

Podstawiając współrzędne punktu P otrzymujemy:

$-\sqrt{7}=b$  

Zatem otrzymujemy:

$x=-\sqrt{7}$  

$x+\sqrt{7}=0$  

$\underline{\underline{x+\sqrt{7}=0}}$  

---

c)

Prosta k jest postaci:

$k:10x-7=0$  

$k:10x=7$  

$k:x=\frac{7}{10}$  

Prosta prostopadła do prostej k jest postaci:

$l:y=b$  

Podstawiając współrzędne punktu P otrzymujemy:

$8=b$  

Zatem otrzymujemy:

$y=8$   

$\underline{\underline{y-8=0}}$  

---

d)

$-3A_1+2B_1=0$  

$-3A_1=-2B_1$  

$A_1=\frac{2}{3}{B}_1$  

Powyższe równanie jest spełnione dla:

$A_1=\frac{2}{3},B_1=1$  

Równanie prostej l możemy zapisać w postaci:

$A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$  

$\frac{2}{3}x+y+C_1=0$  

Podstawiając współrzędne punktu P otrzymujemy:

$\frac{2}{3}\cdot 0+1\cdot \left(-2\right)+C_1=0$  

$C_1=2$  

Zatem otrzymujemy:

$\frac{2}{3}x+y+2=0\mid \cdot 3$  

$\underline{\underline{2x+3y+6=0}}$  

---

e)

$8A_1+3B_1=0$  

$8A_1=-3B_1$  

$A_1=-\frac{3}{8}{B}_1$  

Powyższe równanie jest spełnione dla:

$A_1=-\frac{3}{8},B_1=1$  

Równanie prostej l możemy zapisać w postaci:

$A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$  

$-\frac{3}{8}x+y+C_1=0$  

Punkt przecięcia prostej k i l jest postaci P(0, y) zatem otrzymujemy:

$8x+3y-9=0$  

$8\cdot 0+3y-9=0$  

$3y=9$  

$y=3$  

Punkt  $P\left(0,3\right)$  należy do prostej l.

$-\frac{3}{8}x+y+C_1=0$  

$-\frac{3}{8}\cdot 0+3+C_1=0$  

$C_1=-3$  

Zatem otrzymujemy:

$-\frac{3}{8}x+y-3=0\mid \cdot \left(-8\right)$  

$\underline{\underline{3x-8y+24=0}}$  

---

f)

$-0,4A_1+2B_1=0$  

$-0,4A_1=-2B_1$  

$-4A_1=-20B_1$  

$A_1=5B_1$  

Powyższe równanie jest spełnione dla:

$A_1=5,B_1=1$  

Równanie prostej l możemy zapisać w postaci:

$A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$  

$5x+y+C_1=0$  

Punkt przecięcia prostej k i l jest postaci P(x, 0) zatem otrzymujemy:

$-0,4x+2y+4=0$  

$-0,4x+2\cdot 0+4=0$  

$-0,4x=-4\mid :\left(-\frac{4}{10}\right)$  

$x=-4\cdot \left(-\frac{10}{4}\right)$  

$x=10$  

Punkt  $P\left(10,0\right)$  należy do prostej l.

$5x+y+C_1=0$  

$5\cdot 10+0+C_1=0$  

$C_1=-50$  

Zatem otrzymujemy:

$5x+y-50=0\mid :\frac{5}{2}$  

$\frac{2}{5}\cdot 5x+\frac{2}{5}y-\frac{2}{5}\cdot 50=0$  

$\underline{\underline{2x+0,4y-20=0}}$