Rozwiąż równanie, którego lewa strona ...- Zadanie 84: Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$1 + (x - 4) + (x - 4)^{2} + \dots = \frac{x}{x + 2}$

Lewa strona jest nieskończony szeregiem zbieżnym gdy |q|<1, zatem:

$∣ x - 4 ∣ < 1$

$x - 4 < 1 \land x - 4 > - 1$

$x < 5 \land x > 3$

$x \in (3, 5)$

$\frac{1}{1 - ( x - 4 )} = \frac{x}{x + 2}$

$\frac{1}{1 - x + 4} = \frac{x}{x + 2}$

$\frac{1}{- x + 5} = \frac{x}{x + 2}$

$1 \cdot (x + 2) = x \cdot (- x + 5)$

$x + 2 = - x^{2} + 5 x ∣ + x^{2} - 5 x$

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

$Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$

$Δ = 22$

$x_{1} = \frac{4 - 2 2}{2} = 2 - 2 \in / (3, 5)$

$x_{2} = \frac{4 + 2 2}{2} = 2 + 2$

$1 + \frac{x}{3} + \frac{x ^{2}}{9} + \dots = \frac{2 - x}{x + 3}$

Lewa strona jest nieskończony szeregiem zbieżnym gdy |q|<1, zatem:

$\frac{x}{3} < 1$

$\frac{1}{3} ∣ x ∣ < 1$

$∣ x ∣ < 3$

$x \in (- 3, 3)$

$\frac{1}{1 - \frac{x}{3}} = \frac{2 - x}{x + 3}$

$1 \cdot (x + 3) = (1 - \frac{x}{3}) \cdot (2 - x)$

$x + 3 = 2 - x - \frac{2 x}{3} + \frac{x ^{2}}{3} ∣ \cdot 3$

$3 x + 9 = 6 - 3 x - 2 x + x^{2} ∣ - 3 x - 9$

$0 = x^{2} - 8 x - 3$

$Δ = (- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 64 + 12 = 76$

$Δ = 76 = 219$

$x_{1} = \frac{8 - 2 19}{2} = 4 - 19$

$x_{2} = \frac{8 + 2 19}{2} = 4 + 19 \in / (- 3, 3)$

$1 + lo g 5 x + lo g^{2} 5 x + \dots = 1$

Lewa strona jest nieskończony szeregiem zbieżnym gdy |q|<1, zatem:

$∣ lo g 5 x ∣ < 1$

$lo g 5 x < 1 \land lo g 5 x > - 1$

$10^{1} < 5 x \land 10^{- 1} > 5 x$

$10 < 5 x \land \frac{1}{10} > 5 x$

$2 < x \land \frac{1}{50} > x$

$x \in (\frac{1}{50}, 2)$

$\frac{1}{1 - lo g 5 x} = 1 ∣ \cdot (1 - lo g 5 x)$

$1 = 1 - lo g 5 x ∣ - 1$

$0 = - lo g 5 x$

$0 = lo g (5 x)^{- 1}$

$0 = lo g \frac{1}{5 x}$

$10^{0} = \frac{1}{5 x}$

$1 = \frac{1}{5 x}$

$5 x = 1 ∣ : 5$

$x = \frac{1}{5}$

$∣ x - 1 ∣ + ∣ x - 1 ∣^{2} + ∣ x - 1 ∣^{3} + \dots = \frac{1}{2}$

Lewa strona jest nieskończony szeregiem zbieżnym gdy |q|<1, zatem:

$∣ x - 1 ∣ < 1$

$x - 1 < 1 \land x - 1 > - 1$

$x < 2 \land x > 0$

$x \in (0, 2)$

$\frac{∣ x - 1 ∣}{1 - ∣ x - 1 ∣} = \frac{1}{2}$

$2 ∣ x - 1 ∣ = 1 - ∣ x - 1 ∣ ∣ + ∣ x - 1 ∣$

$3 ∣ x - 1 ∣ = 1 ∣ : 3$

$∣ x - 1 ∣ = \frac{1}{3}$

$x - 1 = \frac{1}{3} \lor x - 1 = - \frac{1}{3}$

$x = \frac{4}{3} \lor x = \frac{2}{3}$

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.