a) Zał:

$x+2\ne 0$  

$x\ne -2$  

 

Algebraicznie:

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$  

$-\frac{1}{x+2}=-\frac{1}{16}x-\frac{1}{2}\mid \cdot 16$  

$-\frac{16}{x+2}=-x-8\mid \cdot \left(x+2\right)$      

$-16=\left(-x-8\right)\left(x+2\right)$  

$-16=-x^2-2x-8x-16\mid +16$  

$0=-x^2-10x$  

$0=-x\left(x+10\right)$  

$x=0\vee x+10=0$  

$x=0\vee x=-10$  

 

Graficznie:

$f\left(x\right)=-\frac{1}{x+2}$  

$x$	$-1$	$0$	$1$
$f\left(x\right)$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{3}$

$g\left(x\right)=-\frac{1}{16}x-\frac{1}{2}$  

$x$	$-1$	$0$	$1$
$g\left(x\right)$	$-\frac{7}{16}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{9}{16}$

 

Wykresy tych funkcji w jednym układzie współrzędnych:

---

b) Zał:

$x+2\ne 0$  

$x\ne -2$  

 

Algebraicznie:

$-\frac{1}{x+2}\ge -\frac{1}{16}x-\frac{1}{2}\mid \cdot 16$  

$-\frac{16}{x+2}\ge -x-8\mid \cdot {\left(x+2\right)}^2$  

$-16\left(x+2\right)\ge -\left(x+8\right){\left(x+2\right)}^2\mid +\left(x+8\right){\left(x+2\right)}^2$  

$-16\left(x+2\right)+\left(x+8\right){\left(x+2\right)}^2\ge 0$  

$\left(x+2\right)\cdot \left[-16+\left(x+8\right)\left(x+2\right)\right]\ge 0$  

$\left(x+2\right)\cdot \left[-16+x^2+2x+8x+16\right]\ge 0$  

$\left(x+2\right)\cdot \left[x^2+10x\right]\ge 0$  

$\left(x+2\right)x\left(x+10\right)\ge 0$  

$x\in ⟨-10,-2)\cup ⟨0,+\infty )$  

 

Graficznie:

$f\left(x\right)=-\frac{1}{x+2}$  

$g\left(x\right)=-\frac{1}{16}x-\frac{1}{2}$  

Wykorzystując rysunek z podpunktu a) możemy odczytać rozwiązanie (kiedy zielony wykres jest powyżej czerwonego wykresu):

$x\in ⟨-10,-2)\cup ⟨0,+\infty )$  

---

c) Zał:

$x+2\ne 0$  

$x\ne -2$  

 

Algebraicznie:

$\left|-\frac{1}{x+2}\right|<-\frac{1}{16}x-\frac{1}{2}$  

$\left|\frac{1}{x+2}\right|<-\frac{1}{16}x-\frac{1}{2}$  

$\frac{1}{\left|x+2\right|}<-\frac{1}{16}x-\frac{1}{2}\mid \cdot 16$  

$\frac{16}{\left|x+2\right|}<-x-8$  

Przypadek I.

$x+2>0$  

$\frac{16}{x+2}<-x-8\mid \cdot \left(x+2\right)$  

$16<\left(-x-8\right)\left(x+2\right)$  

$16<-x^2-2x-8x-16\mid -16$  

$0<-x^2-10x-32\mid :\left(-1\right)$  

$0>x^2+10x+32$  

$\Delta ={10}^2-4\cdot 1\cdot 32<0$  

Sprzeczność

 

Przypadek II.

$x+2<0$  

$\frac{16}{-x-2}<-x-8\mid \cdot \left(-x-2\right)$  

$16<-\left(x+8\right)\cdot -\left(x+2\right)$  

$16<\left(x+8\right)\left(x+2\right)$  

$16<x^2+2x+8x+16\mid -16$  

$0<x^2+10x$  

$0<x\left(x+10\right)$  

$x\in \left(-\infty ,-10\right)\cup \left(0,+\infty \right)$  

Uwzględniając założenie:

$x\in \left(-\infty ,-10\right)$  

 

Graficznie:

$\left|f\left(x\right)\right|=\left|-\frac{1}{x+2}\right|=\left|\frac{1}{x+2}\right|$  

Wykorzystując rysunek możemy odczytać rozwiązanie (kiedy zielony wykres jest poniżej czerwonego wykresu):

$x\in \left(-\infty ,-10\right)$