a) Założenie:
x=0 ∧ x+x1=0
x=0
Podstawienie pomocnicze:
t=x+x1, t∈R\ {0}
t−t6=−1 ∣⋅t
t2−6=−t
t2+t−6=0
t2−2t+3t−6=0
t(t−2)+3(t−2)=0
(t−2)(t+3)=0
t1=2 ∨ t2=−3
x+x1=2 ⋅x ∨ x+x1=−3 ⋅x
x2+1=2x ∨ x2+1=−3x
x2−2x+1=0 ∨ x2+3x+1=0
Wyróżnik drugiego trójmianu:
Δ=32−4⋅1⋅1=9−4=5
Δ=5
x1=2−3−5 ∨ x2=2−3+5
oraz:
x2−2x+1=0
(x−1)2=0
x−1=0
x=1
Rozwiązaniami równania są liczby:
2−3−5 , 2−3+5 , 1
b) Założenie:
x−1=0 ∧ x=0
x=1 ∧ x=0
(x−1x2)2=x264x−64
(x−1x2)2=x264(x−1)
(x−1x2)2=64⋅x2x−1
(x−1x2)2=64⋅x−1x21
Podstawienie pomocnicze:
t=x−1x2, t=0
t2=64⋅t1
t2=t64 ∣⋅t
t3=64
t3=43
t=4
x−1x2=4
x2=4(x−1)
x2=4x−4
x2−4x+4=0
(x−2)2=0
x−2=0
x=2
Rozwiązaniem równania jest liczba:
2
c) (2+x−5x)2+x−5x−18=0
Założenie:
x−5=0
x=5
Podstawienie pomocnicze:
t=x−5x, t∈R
(2+t)2+t−18=0
4+4t+t2+t−18=0
t2+5t−14=0
t2−2t+7t−14=0
t(t−2)+7(t−2)=0
(t−2)(t+7)=0
t1=2 ∨ t2=−7
x−5x=2 ∨ x−5x=−7
x=2(x−5) ∨ x=−7(x−5)
x=2x−10 ∨ x=−7x+35
−x=−10 ∨ 8x=35
x=10 ∨ x=835
Rozwiązaniami równania są liczby:
835 , 10
d) Założenie:
x=0 ∧ 1−x1=0
x=0 ∧ 1=x1
x=0 ∧ x=1
Podstawienie pomocnicze:
t=1−x1, t∈R \ {0}
t2−5=t4 ∣⋅t
t3−5t=4
t3−5t−4=0
t3−t−4t−4=0
t(t2−1)−4(t+1)=0
t(t−1)(t+1)−4(t+1)=0
(t+1)(t(t−1)−4)=0
(t+1)(t2−t−4)=0
Wyróżnik trójmianu:
Δt=(−1)2−4⋅1⋅(−4)=1+16=17
Δt=17
t1=21−17 ∨ t2=21+17
oraz
t3=−1
A więc:
1−x1=21−17 ∨ 1−x1=21+17 ∨ 1−x1=−1
−x1=21−17−2 ∨ −x1=21+17−2 ∨ −x1=−2
−x1=2−1−17 ∨ −x1=217−1 ∨ x1=2
x1=21+17 ∨ x1=21−17 ∨ x=21
x=17+12 ∨ x=1−172 ∨ x=21
x=17+12⋅17−117−1 ∨ x=1−172⋅1+171+17 ∨ x=21
x=162(17−1) ∨ x=−162(1+17) ∨ x=21
x1=817−1 ∨ x2=8−1−17 ∨ x3=21
