a) Oba punkty leżą na prostej danej równaniem x = 2.

Zatem środek odcinka AB ma współrzędne:

$S_{AB}=\left(2,\frac{3+\left(-5\right)}{2}\right)=\left(2,-1\right)$   

Symetralna odcinka AB jest prostopadła do prostej x = 2 i przechodzi przez środek odcinka AB, zatem jest dana równaniem.

$y=-1$  

---

b) Środek odcinka AB:

$S_{AB}=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{-12+3}{2},\frac{6+\left(-9\right)}{2}\right)=\left(-\frac{9}{2},-\frac{3}{2}\right)$  

Równanie prostej AB:

$\{\begin{array}{l}f\left(-12\right)=6\\ f\left(3\right)=-9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-12a+b=6\\ 3a+b=-9\end{array}$  

$\{\left(b=12a+6\right)\left(b=-3a-9\right)$  

$12a+6=-3a-9$  

$15a=-15$  

$a=-1$  

stąd

$b=12\cdot \left(-1\right)+6=-12+6=-6$  

$f\left(x\right)=-x-6$  

Symetralna odcinka jest prostopadła do prostej f, zatem:

$y=x+q$  

Wstawmy współrzędne środka odcinka AB:

$-\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}+q$  

$q=3$  

Symetralna jest dana równaniem:

$y=x+3$  

---

c) Oba punkty leżą na prostej y = 4. Środek odcinka AB:

$S_{AB}=\left(\frac{-3+6}{2},4\right)=\left(\frac{3}{2},4\right)$  

Symetralna odcinka AB jest prostopadła do prostej y = 4 i przechodzi przez środek odcinka AB.

Zatem jej równanie to:

$x=\frac{3}{2}$  

---

d) Środek odcinka AB:

$S_{AB}=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{-2\frac{1}{3}+2\frac{2}{3}}{2},\frac{-3\frac{1}{2}+5\frac{1}{2}}{2}\right)=\left(\frac{\frac{1}{3}}{2},\frac{2}{2}\right)=\left(\frac{1}{6},1\right)$

Równanie prostej AB:

$\{\begin{array}{l}g\left(-2\frac{1}{3}\right)=-3\frac{1}{2}\\ g\left(2\frac{2}{3}\right)=5\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-\frac{7}{3}a+b=-\frac{7}{2}\\ \frac{8}{3}a+b=\frac{11}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=\frac{7}{3}a-\frac{7}{2}\\ b=-\frac{8}{3}a+\frac{11}{2}\end{array}$  

stąd:

$\frac{7}{3}a-\frac{7}{2}=-\frac{8}{3}a+\frac{11}{2}$  

$5a=9$  

$a=\frac{9}{5}$  

czyli

$b=\frac{7}{3}\cdot \frac{9}{5}-\frac{7}{2}=\frac{21}{5}-\frac{7}{2}=\frac{42}{10}-\frac{35}{10}=\frac{7}{10}$  

$AB:g\left(x\right)=\frac{9}{5}x+\frac{7}{10}$  

Symetralna jest prostopadła do prostej AB:

$y=-\frac{5}{9}x+q$  

Wstawmy współrzędne środka odcinka AB:

$1=-\frac{5}{9}\cdot \frac{1}{6}+q$  

$1=-\frac{5}{54}+q$  

$q=\frac{59}{54}$  

Równanie symetralnej:

$y=-\frac{5}{9}x+\frac{59}{54}$