Rozwiąż nierówność.- Zadanie 90: Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) Zał:

$5 x - 1 > 0 ∣ + 1$

$5 x > 1 ∣ : 5$

$x > \frac{1}{5}$

$lo g_{2}^{2} (5 x - 1) - lo g_{2} (5 x - 1) - 12 > 0$

Podstawmy $t = lo g_{2} (5 x - 1)$

$t^{2} - t - 12 > 0$

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12) = 1 + 48 = 49$

$t_{1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

$t_{2} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$t \in (- \infty, - 3) \cup (4, + \infty)$

$lo g_{2} (5 x - 1) = - 3 \lor lo g_{2} (5 x - 1) = 4$

$2^{- 3} = 5 x - 1 \lor 2^{4} = 5 x - 1$

$\frac{1}{2 2} = 5 x - 1 \lor 4 = 5 x - 1$

$\frac{2}{4} + 1 = 5 x \lor 5 = 5 x$

$\frac{2 + 4}{20} = x \lor x = 1$

$x \in (- \infty, \frac{2 + 4}{20}) \cup (1, + \infty)$

Uwzględniając założenie otrzymujemy:

$x \in (\frac{1}{5}, \frac{2 + 4}{20}) \cup (1, + \infty)$

b) Zał:

$3 x + 4 > 0 \land x - 2 > 0 \land 2 x > 0$

$3 x > - 4 \land x > 2 \land x > 0$

$x > - \frac{4}{3} \land x > 2 \land x > 0$

$x \in (2, + \infty)$

$lo g_{\frac{1}{3}} (3 x + 4) - lo g_{\frac{1}{3}} (x - 2) < lo g_{\frac{1}{3}} 2 x$

$lo g_{\frac{1}{3}} (\frac{3 x + 4}{x - 2}) < lo g_{\frac{1}{3}} 2 x$

Zauważmy, że funkcja $f (x) = lo g_{\frac{1}{3}} x$ jest funkcją malejącą, zatem należy zmienić znak nierówności.

$\frac{3 x + 4}{x - 2} > 2 x ∣ \cdot (x - 2)^{2}$

$(3 x + 4) (x - 2) > 2 x (x - 2)^{2} ∣ - 2 x (x - 2)^{2}$

$(3 x + 4) (x - 2) - 2 x (x - 2)^{2} > 0$

$(x - 2) \cdot [3 x + 4 - 2 x (x - 2)] > 0$

$(x - 2) \cdot [3 x + 4 - 2 x^{2} + 4 x] > 0$

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 7 x + 4) > 0$

$Δ = 7^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 4 = 49 + 32 = 81$

$x_{1} = \frac{- 7 - 9}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{- 16}{- 4} = 4$

$x_{2} = \frac{- 7 + 9}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{2}{- 4} = - \frac{1}{2}$

$(x - 2) \cdot (- 2) (x - 4) (x + \frac{1}{2}) > 0 ∣ : (- 2)$

$(x - 2) (x - 4) (x + \frac{1}{2}) < 0$

$x \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (2, 4)$

Uwzględniając założenie otrzymujemy:

$x \in (2, 4)$

c) Zał:

$x^{2} - 10 x - 10 > 0$

$Δ = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10) = 100 + 40 = 140$

$Δ = 140 = 4 \cdot 35 = 235$

$x_{1} = \frac{10 - 2 35}{2} = 5 - 35$

$x_{2} = \frac{10 + 2 35}{2} = 5 + 35$

$x \in (- \infty, 5 - 35) \cup (5 + 35, + \infty)$

$lo g_{\frac{3}{4}} (x^{2} - 10 x - 10) < 0$

$lo g_{\frac{3}{4}} (x^{2} - 10 x - 10) < lo g_{\frac{3}{4}} 1$

Zauważmy, że funkcja $f (x) = lo g_{\frac{3}{4}} x$ jest funkcją malejącą, zatem należy zmienić znak nierówności.

$x^{2} - 10 x - 10 > 1 ∣ - 1$

$x^{2} - 10 x - 11 > 0$

$Δ = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 11) = 100 + 44 = 144$

$x_{1} = \frac{10 - 12}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$x \in (- \infty, - 1) \cup (11, + \infty)$

d) Zał:

$5^{x} - 2 + \frac{205}{5} > 0 \land 5^{x} - 2 - \frac{205}{5} > 0$

$5^{x} > 2 - \frac{205}{5} \land 5^{x} > 2 + \frac{205}{5}$

$x \in R \land 5^{x + 1} > 10 + 205$

$x \in R \land x + 1 > lo g_{5} (10 + 205)$

$x \in R \land x > lo g_{5} (10 + 205) - 1$

$lo g_{\frac{4}{5}} (5^{x} - 2 + \frac{205}{5}) + lo g_{\frac{4}{5}} (5^{x} - 2 - \frac{205}{5}) > 1$

$lo g_{\frac{4}{5}} ((5^{x} - 2 + \frac{205}{5}) (5^{x} - 2 - \frac{205}{5})) > 1$

$lo g_{\frac{4}{5}} (5^{x} - 2)^{2} - (\frac{205}{5})^{2} > 1$

$lo g_{\frac{4}{5}} (5^{x^{2}} - 2 \cdot 5^{x} \cdot 2 + 2^{2} - \frac{205}{25}) > 1$

$lo g_{\frac{4}{5}} (5^{x^{2}} - 4 \cdot 5^{x} + 4 - \frac{41}{5}) > lo g_{\frac{4}{5}} \frac{4}{5}$

Zauważmy, że funkcja $f (x) = lo g_{\frac{4}{5}} x$ jest funkcją malejącą, zatem należy zmienić znak nierówności.

$5^{x^{2}} - 4 \cdot 5^{x} + 4 - \frac{41}{5} < \frac{4}{5} ∣ - \frac{4}{5}$

$5^{x^{2}} - 4 \cdot 5^{x} + 4 - \frac{45}{5} < 0$

$5^{x^{2}} - 4 \cdot 5^{x} + 4 - 9 < 0$

$5^{x^{2}} - 4 \cdot 5^{x} - 5 < 0$

Podstawmy $t = 5^{x}$

$t^{2} - 4 t - 5 < 0$

$Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 16 + 20 = 36$

$t_{1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

$t_{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$t \in (- 1, 5)$

$5^{x} \in (- 1, 5)$

$x < 1$

Uwzględniając założenia otrzymujemy:

$x \in (lo g_{5} (10 + 205) - 1, 1)$

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.