Odczytaj wzór funkcji na podstawie ...- Zadanie 67: Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Zauważmy, że asymptotą funkcji jest prosta x=-3, zatem:

$y = lo g_{a} (x + 3) + q$

Podstawiając współrzędne punktu (1, 2) oraz (-1, 1) otrzymujemy:

${2 = lo g_{a} (1 + 3) + q 1 = lo g_{a} (- 1 + 3) + q$

${2 = lo g_{a} 4 + q 1 = lo g_{a} 2 + q$

Odejmując stronami otrzymujemy:

$2 - 1 = lo g_{a} 4 - lo g_{a} 2$

$1 = lo g_{a} 2$

$a = 2$

$2 = lo g_{2} 4 + q$

$2 = 2 + q$

$q = 0$

Zatem wzór funkcji to:

$y = lo g_{2} (x + 3)$

Zauważmy, że asymptotą jest prosta x=1, zatem:

$y = lo g_{a} (x - 1) + q$

Podstawiając współrzędne punktu (2, 3) oraz (3, 4) otrzymujemy:

${3 = lo g_{a} (2 - 1) + q 4 = lo g_{a} (3 - 1) + q$

${3 = lo g_{a} 1 + q 4 = lo g_{a} 2 + q$

Odejmując stronami otrzymujemy:

$3 - 4 = lo g_{a} 1 - lo g_{a} 2$

$- 1 = lo g_{a} \frac{1}{2}$

$a^{- 1} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{2}$

$a = 2$

$3 = lo g_{a} 1 + q$

$3 = lo g_{2} 1 + q$

$3 = q$

Zatem wzór funkcji to:

$y = lo g_{2} (x - 1) + 3$

Zauważmy, że asymptotą jest prosta x=0, zatem:

$y = lo g_{a} x + q$

Podstawiając współrzędne punktu (1, 2) oraz (2, 3) otrzymujemy:

${2 = lo g_{a} 1 + q 3 = lo g_{a} 2 + q$

Odejmując stronami otrzymujemy:

$2 - 3 = lo g_{a} 1 - lo g_{a} 2$

$- 1 = lo g_{a} \frac{1}{2}$

$a^{- 1} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{2}$

$a = 2$

$2 = lo g_{2} 1 + q$

$2 = q$

Zatem wzór funkcji to:

$y = lo g_{2} x + 2$

Zauważmy, że asymptotą jest prosta x=-2 oraz wszystkie argumenty są ujemne, zatem:

$y = lo g_{a} (- (x + 2)) + q$

Podstawiając współrzędne punktu (-3, 0) oraz (-4, 1) otrzymujemy:

${0 = lo g_{a} (- (- 3 + 2)) + q 1 = lo g_{a} (- (- 4 + 2)) + q$

${0 = lo g_{a} 1 + q 1 = lo g_{a} 2 + q$

Odejmując stronami otrzymujemy:

$0 - 1 = lo g_{a} 1 - lo g_{a} 2$

$- 1 = lo g_{a} \frac{1}{2}$

$a^{- 1} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{2}$

$a = 2$

$0 = lo g_{2} 1 + q$

$0 = q$

Zatem wzór funkcji to:

$y = lo g_{2} (- (x + 2))$

$y = lo g_{2} (- x - 2)$

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.