$\frac{1}{3}{x}^2-bx+c=0$  

Wiemy, że  $b$  i  $c$  są pierwiastkami tego równania, więc z wzorów Viete'a mamy:  

$-\frac{b}{\frac{1}{3}}=b+c$  

$\frac{c}{\frac{1}{3}}=bc$  

Zapisujemy równania jako układ i wyznaczamy  $b$  oraz  $c.$    

$\{\begin{array}{l}-3b=b+c\\ 3c=bc\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}c=-4b\\ c\left(3-b\right)=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}c=-4b\\ -4b\left(3-b\right)=0\end{array}$  

Rozwiązujemy drugie równanie w układzie:

$-4b\left(3-b\right)=0$  

$-4b=0\vee 3-b=0$  

$b=0\vee b=3$  

Zauważmy, że dla  $b=0$  mamy  $c=0,$  a to jest sprzeczne z założeniem, że pierwiastki są równe.

W takim razie  $b=3,$  i wówczas

$c=-4b=-4\cdot 3=-12$  

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

$\{\begin{array}{l}b=3\\ c=-12\end{array}$  

Odp.  $\frac{1}{3}{x}^2+3x-12=0.$