$f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2+2x+1$  

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot 1=4+\frac{4}{3}=5\frac{1}{3}$     

 

a)

Wyznaczmy wierzchołek tej funkcji.

$W=\left(p,q\right)$  

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{-2}{-\frac{2}{3}}=-2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=3$  

$q=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-5\frac{1}{3}}{4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{-\frac{16}{3}}{-\frac{4}{3}}=4$  

 

Funkcja f rośnia dla  $x\in (-\infty ,3⟩$  

Funkcja f maleje dla  $x\in ⟨3,+\infty )$  

 

$Z{W}_f=(-\infty ,4⟩$  

---

b)

Przypadek I, gdy  $f\left(x\right)\in (0,4⟩$  

$g\left(x\right)=-\frac{5}{f\left(x\right)}$  

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f\left(x\right)$	$-\frac{1}{3}+2+1=2\frac{2}{3}$	$-\frac{4}{3}+5=-1\frac{1}{3}+5=3\frac{2}{3}$	$-3+6+1=4$	$-\frac{16}{3}+8+1=-5\frac{1}{3}+9=3\frac{2}{3}$
$g\left(x\right)$	$-\frac{5}{2\frac{2}{3}}=-\frac{5}{\frac{8}{3}}=-\frac{15}{8}=-1\frac{7}{8}$	$-\frac{5}{3\frac{2}{3}}=-\frac{5}{\frac{11}{3}}=-\frac{15}{11}=-1\frac{4}{11}$	$-\frac{5}{4}=-1\frac{1}{4}$	$-\frac{5}{3\frac{2}{3}}=-1\frac{4}{11}$

Dla funkcji f(x) p=3, zatem wartość największa funkcji g(x) w rozpatrywanym przedziale to  $-\frac{5}{4}$  

Zatem dla tego przypadku wartości funkcji są z przedziału:

$(-\infty ,-\frac{5}{4}⟩$  

 

Przypadek II, gd  $f\left(x\right)\in \left(0,+\infty \right)$  

$x$	$-3$	$-2$	$-1$
$f\left(x\right)$	$-3-6+1=-8$	$-\frac{4}{3}-4+1=-4\frac{1}{3}$	$-\frac{1}{3}-2+1=-1\frac{1}{3}$
$g\left(x\right)$	$\frac{5}{8}$	$-\frac{5}{-4\frac{1}{3}}=\frac{5}{\frac{13}{3}}=\frac{15}{13}$	$-\frac{5}{-1\frac{1}{3}}=\frac{5}{\frac{4}{3}}=\frac{15}{4}$

 

Zatem dla tego przypadku wartości funkcji są z przedziału:

$\left(0,+\infty \right)$  

 

Ostatecznie:

$x\in (-\infty ,-\frac{5}{4}⟩\cup \left(0,+\infty \right)$