Trójkąt ABC jest oparty na średnicy zatem:

$\left|\angle ACB\right|={90}^{\circ }$  


Trójkąt o wierzchołkach w punktach B i C i w środku okręgu (S) jest równoramienny, zatem:  

$\left|\angle CBS\right|=\left({180}^{\circ }-{50}^{\circ }\right):2={130}^{\circ }:2={65}^{\circ }$  


Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180^o, zatem:

$\left|\angle CAB\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{65}^{\circ }={25}^{\circ }$  

Odp.: Miary kątów w tym trójkącie to 90^o, 65^o i 25^o. 


Trójkąty DGF i DEF są oparte na średnicy, zatem trójkąty te są prostokątne:

$\left|\angle DGF\right|={90}^{\circ }$  

$\left|\angle DEF\right|={90}^{\circ }$  

Obliczmy miarę kąta EFD:

$\left|\angle EFD\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{40}^{\circ }={50}^{\circ }$  

Kąty EFD i DGE to kąty wpisane oparte na tym samym łuku zatem mają one równe miary:

$\left|\angle DGE\right|={50}^{\circ }$  


Obliczmy miarę kąta GDF:

$\left|\angle GDF\right|={180}^{\circ }-{50}^{\circ }-{40}^{\circ }-{65}^{\circ }={25}^{\circ }$  


Obliczmy miarę kąta GDE:

$\left|\angle GDE\right|={25}^{\circ }+{40}^{\circ }={65}^{\circ }$  


Suma miar kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi 360^o, zatem:

$\left|\angle GFE\right|={360}^{\circ }-{90}^{\circ }-{90}^{\circ }-{65}^{\circ }={115}^{\circ }$  

Odp.: Miary kątów w tym czworokącie to: 90^o, 90^o, 65^o i 115^o. 


Trójkąt JHI jest oparty na średnicy zatem:

$\left|\angle JHI\right|={90}^{\circ }$  

Kąty HJI i kąt o mierze 70^o to kąty wpisane oparte na tym samym łuku zatem:

$\left|\angle HJI\right|={70}^{\circ }$  


Obliczmy miarę kąta JIH:

$\left|\angle JIH\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{70}^{\circ }={20}^{\circ }$  

Odp.: Miary kątów w tym trójkącie to: 90^o, 70^o i 20^o. 

Kąt MLN to kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany MKN, zatem:

$\left|\angle MLN\right|=2\cdot \left|MKN\right|=2\cdot {30}^{\circ }={60}^{\circ }$  

trójkąt NML jest równoramienny i kąt między jego ramionami wynosi 60^o, więc jest on równoboczny, zatem:

$\left|\angle NML\right|={60}^{\circ }$  

$\left|\angle LNM\right|={60}^{\circ }$  

Trójkąt  KLN jest równoramienny, zatem:

$\left|\angle LKN\right|=\left({180}^{\circ }-{90}^{\circ }\right):2={45}^{\circ }$  

$\left|\angle LNK\right|={45}^{\circ }$  


Obliczmy miarę kąta KNM:

$\left|\angle KNM\right|=\left|\angle KNL\right|+\left|\angle LNM\right|={45}^{\circ }+{60}^{\circ }={105}^{\circ }$  


Obliczmy miarę kąta KLM:

$\left|\angle KLM\right|=\left|\angle KLN\right|+\left|\angle NLM\right|={90}^{\circ }+{60}^{\circ }={150}^{\circ }$  


Odp.: Miary kątów w tym czworokącie to: 45^o, 150^o, 65^o i 105^o.