a) Wyznaczmy wzór na pole kwadratu mając daną przekątną d:

$P=\frac{d\cdot d}{2}=\frac{d^2}{2}$  

(ponieważ każdy kwadrat jest rombem)  


b) Wiemy, że:

$P=a^2\mid \sqrt{}$  

$\sqrt{P}=a$  


Wyznaczmy długość obwodu tego kwadratu o danym polu P:

$L=\sqrt{P}+\sqrt{P}+\sqrt{P}+\sqrt{P}=4\sqrt{P}$  


c) Wyznaczmy długość boku tego rombu:

$b:4=\frac{1}{4}b$  

Wyznaczmy wzór na pole tego rombu:

$P=\frac{1}{4}b\cdot h$  


d) Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczmy długość boku tego rombu:

${\left(\frac{e}{2}\right)}^2+{\left(\frac{f}{2}\right)}^2=a^2$  

$\frac{e^2}{4}+\frac{f^2}{4}=a^2$  

$\frac{e^2+f^2}{4}=a^2\sqrt{}$  

$a=\frac{\sqrt{e^2+f^2}}{2}$  


Wyznaczmy długość obwodu tego rombu:

$L=4\cdot \frac{\sqrt{e^2+f^2}}{2}=2\sqrt{e^2+f^2}$  

e) Wyznaczmy długość wysokości tego trapezu:

$h^2+{\left(\left(a-b\right):2\right)}^2=r^2$  

$h^2+\frac{{\left(a-b\right)}^2}{4}=r^2$  

$h^2=r^2-\frac{{\left(a-b\right)}^2}{4}$  

$h=\sqrt{r^2-\frac{{\left(a-b\right)}^2}{4}}$  


Wyznaczmy pole tego trapezu:

$P=\frac{a+b}{2}\cdot \sqrt{r^2-\frac{{\left(a-b\right)}^2}{4}}$  


f) Wyznaczmy długość wysokości tego trapezu:

$\frac{a+b}{2}\cdot h=P$  

$h=\frac{2P}{a+b}$  

Obliczmy długość ramienia tego trapezu:

${\left(\frac{2P}{a+b}\right)}^2+{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2=r^2$     

$r=\sqrt{{\left(\frac{2P}{a+b}\right)}^2+{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2}$  


Wyznaczmy długość obwodu tego trapezu:

$L=a+b+\sqrt{{\left(\frac{2P}{a+b}\right)}^2+{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2}+\sqrt{{\left(\frac{2P}{a+b}\right)}^2+{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2}=a+b+2\sqrt{{\left(\frac{2P}{a+b}\right)}^2+{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2}$