a) I sposób:

Liczba jest podzielna przez 10 jeśli jest podzielna przez 2 i 5.  

Liczba jest podzielna przez 2 jeśli jej cyfrą jedności jest jedna z cyfr: 0, 2, 4, 6, 8.

Liczba jest podzielna przez 5 jeśli jej cyfrą jedności jest jedna z cyfr: 0, 5.

Zatem liczba jest podzielna przez 2 i 5 czyli przez 10 jeśli jej cyfrą jedności jest 0. 


II sposób:

Każdą liczbę możemy zapisać w postaci:

$a_n\cdot {10}^n+a_{n-1}\cdot {10}^{n-1}+a_{n-2}\cdot {10}^{n-2}+\dots +a_1\cdot 10+a_0=10\cdot \left(a_n\cdot {10}^{n-1}+a_{n-1}\cdot {10}^{n-2}+a_{n-2}\cdot {10}^{n-3}+\dots +a_1\right)+a_0$  

Pierwszy składnik tej sumy możemy zapisać w postaci iloczynu liczby 10 i liczby całkowitej, zatem podzielność tej liczby przez 10 zależy od podzielności liczby a₀ przez 10. Jedyną liczbą jednocyfrową podzielną przez 10 jest 0, zatem:

$a_0=0$  

co należało dowieźć


b) Każdą liczbę trzycyfrową możemy zapisać w postaci:

$100a+10b+c$  

gdzie:

a, b, c - liczby naturalne

zauważmy, że:

$100a+10b+c=99a+a+9b+b+c=99a+9b+a+b+c=9\left(11a+b\right)+a+b+c$  

podzielność tej liczby przez 3 zależy od podzielności sumy liczb a, b i c przez 3 ponieważ liczba 9(11a+b) jest podzielna przez 3, 

co należało udowodnić


c) Każdą liczbę naturalną n podzielną przez 6 możemy zapisać w postaci:

$n=6k$  

gdzie k -liczba całkowita

zauważmy, że:

$n=6k=3\cdot 2k$  

Liczba n jest podzielna przez 3 ponieważ możemy ją zapisać w postaci iloczynu liczby 3 i liczby naturalnej 2k,

co należało dowieźć