Przykładowy rysunek trapezu, na którym nie można opisać okręgu:  




Wiemy, że jeśli na czworokącie można opisać okrąg to spełniony musi być warunek:



$\{\begin{array}{l}\alpha +\gamma ={180}^{\circ }\\ \beta +\delta ={180}^{\circ }\end{array}$  

ponadto w każdym trapezie sumy miar kątów leżących przy tym samym ramieniu wynoszą po 180^o:

$\{\begin{array}{l}\alpha +\delta ={180}^{\circ }\\ \beta +\gamma ={180}^{\circ }\end{array}$  


rozwiążmy układ równań:

$\{\begin{array}{l}\alpha +\gamma ={180}^{\circ }\\ \beta +\delta ={180}^{\circ }\\ \alpha +\delta ={180}^{\circ }\\ \beta +\gamma ={180}^{\circ }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\alpha ={180}^{\circ }-\gamma \\ \beta +\delta ={180}^{\circ }\\ \alpha ={180}^{\circ }-\delta \mid \cdot \left(-1\right)\\ \beta +\gamma ={180}^{\circ }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\alpha ={180}^{\circ }-\gamma \\ \beta +\delta ={180}^{\circ }\\ -\alpha =-{180}^{\circ }+\delta \\ \beta +\gamma ={180}^{\circ }\end{array}$  

dodajemy stronami równania 1 i 3:

$\alpha -\alpha ={180}^{\circ }-\gamma -{180}^{\circ }+\delta$  

$0=\delta -\gamma$  

zatem:

$\delta =\gamma$  

więc:

$\alpha ={180}^{\circ }-\delta$  

$\beta ={180}^{\circ }-\gamma$  

oraz:

$\alpha ={180}^{\circ }-\delta ={180}^{\circ }-\gamma =\beta$  

więc trapez ABCD jest równoramienny, co należało dowieźć.