Założenia:

$x>1,y<1$  

---

Teza:

$xy<x+y-1$  

---

Dowód (wprost):

Przekształćmy równoważnie powyższą nierówność.

$xy<x+y-1$  

$xy-x-y+1<0$  

$x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)<0$  

$\left(x-1\right)\left(y-1\right)<0$  

Wystarczy teraz uzasadnić, że  $\left(x-1\right)\left(y-1\right)<0.$  

Zauważmy, że:

$x-1>0$  dla  $x>1$  

$y-1<0$  dla  $y<1$  

więc iloczyn  $\left(x-1\right)\left(y-1\right)<0$  dla  $x>1,y<1,$  co należało dowieść.