Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia, z których będziemy korzystać:

${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$  

${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$  

---

Będziemy chcieli zapisać wyrażenia pod pierwiastkiem w taki sposób, 

by dostrzec, że liczba pod pierwiastkiem jest liczbą typu  $x+y\sqrt{z},$  

podniesioną do trzeciej potęgi, gdzie  $x,y,z\in \mathbf{C}.$  

---

$\text{a)}\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10}-\sqrt{3}=\sqrt[3]{3\sqrt{3}+9+3\sqrt{3}+1}-\sqrt{3}=$  

$=\sqrt[3]{{\left(\sqrt{3}\right)}^3+3\cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2\cdot 1+3\cdot \sqrt{3}\cdot 1^2+1^3}-\sqrt{3}=$  

$=\sqrt[3]{{\left(\sqrt{3}+1\right)}^3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1$  

---

$\text{b)}\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}-\sqrt{2}=\sqrt[3]{2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1}-\sqrt{2}=$  

$=\sqrt[3]{{\left(\sqrt{2}\right)}^3-3\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2\cdot 1+3\cdot \sqrt{2}\cdot 1^2-1^3}-\sqrt{2}=$  

$=\sqrt[3]{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^3}-\sqrt{2}=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}=-1$  

---

$\text{c)}\sqrt[3]{38-17\sqrt{5}}+\sqrt[3]{38+17\sqrt{5}}=\sqrt[3]{8-12\sqrt{5}+30-5\sqrt{5}}+\sqrt[3]{8+12\sqrt{5}+30+5\sqrt{5}}=$  

$=\sqrt[3]{2^3-3\cdot 2^2\cdot \sqrt{5}+3\cdot 2\cdot {\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^3}+\sqrt[3]{2^3+3\cdot 2^2\cdot \sqrt{5}+3\cdot 2\cdot {\left(\sqrt{5}\right)}^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^3}=$  

$=\sqrt[3]{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^3}+\sqrt[3]{{\left(2+\sqrt{5}\right)}^3}=2-\sqrt{5}+2+\sqrt{5}=4$  

---

$\text{d)}\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}=\sqrt[3]{27+27\sqrt{2}+18+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{27-27\sqrt{2}+18-2\sqrt{2}}=$  

$=\sqrt[3]{3^3+3\cdot 3^2\cdot \sqrt{2}+3\cdot 3\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^3}+\sqrt[3]{3^3-3\cdot 3^2\cdot \sqrt{2}+3\cdot 3\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^3}=$  

$=\sqrt[3]{{\left(3+\sqrt{2}\right)}^3}+\sqrt[3]{{\left(3-\sqrt{2}\right)}^3}=3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}=6$  

---

Wskazówki:

Przykłady  $\text{a)}$  i  $\text{b)}$  można rozwiązać, przenosząc  $\sqrt{3}$  i  $\sqrt{2}$  na prawą stronę równań, a następnie podnosząc

obie strony do trzeciej potęgi. Wówczas wystarczy dowieść, że po lewej i prawej stronie równania otrzymamy

to samo. Ewentualnie można w ten sposób "odgadnąć", jaką liczbę podniesiono pod pierwiastkiem do trzeciej

potęgi, gdyż przedstawione powyżej rozwiązanie jest bardziej poprawne.

W przykładach  $\text{c)}$  i  $\text{d)}$  powyższy sposób się nie sprawdzi, ale warto zauważyć, że pod oboma pierwiastkami

mamy wyrażenia typu  $\left(a-b\right)$  i  $\left(a+b\right).$  Prawa strona równania sugeruje, że  $2a$  jest odpowiednio równe 

$4$  i  $6,$  a postać  $b$  powinno zależeć odpowiednio od  $\sqrt{5}$  i  $\sqrt{2}.$